W urnie znajduje się n kul ponumerowanych liczbami od 1 do n. Losujemy ze zwracaniem 4 kule. Niech a, b, c, d będą liczbami znajdującymi się na kolejno wylosowanych kulach. Niech E(n) będzie wartością oczekiwaną wyznacznika \(\displaystyle{ det\begin{vmatrix} a&b\\c&d\end{vmatrix}}\). Czy wtedy:
a) \(\displaystyle{ E(2)<1}\), b) \(\displaystyle{ E(3)<0}\), c) \(\displaystyle{ E(4)>0}\), d) \(\displaystyle{ E(5)>1}\)?
Czy można to zadanie rozwiązać tak?
Mamy obliczyć wartość oczekiwaną wyznacznika, czyli wartość oczekiwaną różnicy ad-bc.
Dla danego n ta różnica przyjmuje wartości ze zbioru \(\displaystyle{ \{n^2-1, n^2-2,...,0,...,-(n^2-2),-(n^2-1) \}}\). Prawdopodobieństwo wylosowania dowolnej liczby z tego zbioru to \(\displaystyle{ \frac{1}{2(n^2-1)+1}}\). Zatem \(\displaystyle{ E(n)= \frac{n^2-1 + n^2-2+...+0+...-(n^2-2)-(n^2-1)}{2(n^2-1)+1}=0}\). Zatem tylko a) jest prawdą.
wartość oczekiwana wyznacznika
-
norwimaj
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
wartość oczekiwana wyznacznika
Na jakiej podstawie sądzisz, że wylosowanie każdej z \(\displaystyle{ 2n^2-1}\) wartości wyznacznika jest jednakowo prawdopodobne? Moim zdaniem to błędne rozwiązanie.
A zadanie jest bardzo łatwe. Wystarczy zauważyć, że wartość oczekiwana iloczynu \(\displaystyle{ ad}\) istnieje i jest równa wartości oczekiwanej iloczynu \(\displaystyle{ bc}\). Zatem z liniowości wartości oczekiwanej wynika, że wartość oczekiwana \(\displaystyle{ ad-bc}\) jest równa \(\displaystyle{ 0}\).
A zadanie jest bardzo łatwe. Wystarczy zauważyć, że wartość oczekiwana iloczynu \(\displaystyle{ ad}\) istnieje i jest równa wartości oczekiwanej iloczynu \(\displaystyle{ bc}\). Zatem z liniowości wartości oczekiwanej wynika, że wartość oczekiwana \(\displaystyle{ ad-bc}\) jest równa \(\displaystyle{ 0}\).
wartość oczekiwana wyznacznika
A jak to wszystko dokładnie zapisać? Bo myślę, że wiem o co Ci chodzi, ale nie wiem, jak to zapisać.
-
norwimaj
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
wartość oczekiwana wyznacznika
Akurat w tej chwili nie mam natchnienia do pisania uzasadnień, więc bym po prostu wszystko rozpisał:
\(\displaystyle{ E(n)=\sum_{a=1}^n\sum_{b=1}^n\sum_{c=1}^n\sum_{d=1}^n \frac{1}{n^4}\, \left(ad-bc\right)=}\)
\(\displaystyle{ =
\sum_{a=1}^n\sum_{b=1}^n\sum_{c=1}^n\sum_{d=1}^n \frac{ad}{n^4}\;-\;
\sum_{a=1}^n\sum_{b=1}^n\sum_{c=1}^n\sum_{d=1}^n \frac{bc}{n^4}=}\)
\(\displaystyle{ =
\sum_{a=1}^n\sum_{d=1}^n \frac{ad}{n^2}\;-\;
\sum_{b=1}^n\sum_{c=1}^n \frac{bc}{n^2}}\).
Otrzymaliśmy różnicę dwóch takich samych sum, czyli \(\displaystyle{ 0}\).
\(\displaystyle{ E(n)=\sum_{a=1}^n\sum_{b=1}^n\sum_{c=1}^n\sum_{d=1}^n \frac{1}{n^4}\, \left(ad-bc\right)=}\)
\(\displaystyle{ =
\sum_{a=1}^n\sum_{b=1}^n\sum_{c=1}^n\sum_{d=1}^n \frac{ad}{n^4}\;-\;
\sum_{a=1}^n\sum_{b=1}^n\sum_{c=1}^n\sum_{d=1}^n \frac{bc}{n^4}=}\)
\(\displaystyle{ =
\sum_{a=1}^n\sum_{d=1}^n \frac{ad}{n^2}\;-\;
\sum_{b=1}^n\sum_{c=1}^n \frac{bc}{n^2}}\).
Otrzymaliśmy różnicę dwóch takich samych sum, czyli \(\displaystyle{ 0}\).