calka wymierna z stopniem licznika wiekszym od stopnia miano

[ak44]

witam, przymierzam sie do rozwiazania niniejszej calki: \(\displaystyle{ \int\frac{x^{5}}{(x^{2}+1)^{2}} \mbox{d}x}\)
probuje ja rozwiazac na mnostwo sposobow, lecz za kazdym razem w cos sie wtopie. Prosilbym tylko o drobna podpowiedz, jak prawidlowo mam zaczac liczyc ta calke, tylko tyle, z gory dziekuje.

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ x ^{2}+1=t}\)

Np takie coś spróbuj.

Dzielenie wielomianów te wchodzi w grę

[ak44]

jednak cos napsocilem...chyba najwidoczniej zle podzielilem te wielomiany. Jednak teraz troche to skorygowalem i wyszly mi takie calki: \(\displaystyle{ \int\frac{-2x^{3}}{(x^{2}+1)^{2}}-\int\frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}}\) ale nie wiem jak uporac sie z ta pierwsza...

[miodzio1988]

Co niby podstawienie \(\displaystyle{ t=x}\) daje?

[ak44]

hmm, juz chyba wszedlem na wlasciwy trop...chcialbym tylko weryfikacji...po podstawieniu za \(\displaystyle{ t=x^{2}+1}\) zostaje calka: \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\int\frac{(t-1)^{2}}{t^{2}} dt}\)
rozwijam ja i mam : \(\displaystyle{ \int\frac{t^{2}-2t+1}{2t^{2}}}\) nastepnie wszystko rozkladam na 3 calki z ktorymi chyba juz nie powinno byc zadnego problemu. Teraz wszystko ok?

[miodzio1988]

Jest ok