całka z f. trygonometrycznych

[islabonita]

Proszę o wskazanie jaki robię błąd, bo wynik w odpowiedziach różni się znakami.
\(\displaystyle{ \int\ \frac{ \mbox{d}x }{\sin x \cdot \cos^2 x}}\)
Stosuję podstawienie \(\displaystyle{ t=\cos x}\), więc \(\displaystyle{ \int\ \frac{ \frac{- \mathrm{d}t }{ \sqrt{1- t^{2} } } }{ \sqrt{1- t^{2} } \cdot t^{2} }=- \int\ \frac{ \mbox{d}t }{\left( 1- t^{2} \right) \cdot t ^{2} }=- \int\ \frac{ \mbox{d}t }{\left( 1-t\right)\left( 1+t\right) \cdot t ^{2} }}\)
Po rozkładzie na ułamki proste obliczana całka równa jest sumie trzech całek ze znakiem minus przed nimi:
\(\displaystyle{ -\left( \int\ \frac{ \frac{1}{2} }{1-t} \mbox{d}t + \int\ \frac{ \frac{1}{2} }{1+t} \mbox{d}t + \int\ \frac{ \mbox{d}t }{t ^{2} } \right)=
-\left( \frac{1}{2}\ln\left| 1-t\right| + \frac{1}{2} \ln\left| 1+t\right| - \frac{1}{t} \right)=
- \frac{1}{2}\left( \ln\left| 1-t\right|+\ln\left| 1+t\right| \right) + \frac{1}{t}+C}\)

Pozostaje jeszcze wstawić za t cosinusa i można chyba wymnożyć to co jest w logarytmach. A w odpowiedziach jest dzielenie i przeciwne znaki: \(\displaystyle{ \frac{-1}{\cos x} + \frac{1}{2}\ln \frac{1-\cos x}{1+\cos x} +C}\)

[Chromosom]

Błędnie obliczasz całkę
\(\displaystyle{ \int\frac{\mbox dt}{1-t}}\)

[islabonita]

Dzięki, a przed \(\displaystyle{ \frac{1}{\cos x}}\) dlaczego jest minus?

[Chromosom]

sprawdź rozkład na ułamki proste, zróżniczkuj też wynik zamieszczony w odpowiedziach celem sprawdzenia jego poprawności