Wektory i zależności między nimi w trójkącie

[tatteredspire]

Zadanie

W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczną AD kąta przy wierzchołku A (rysunek poniżej). Wyznaczyć wektor \(\displaystyle{ \vec{AD}}\) (jeśli to możliwe; jeśli nie - odpowiedź uzasadnić) w zależności od wektorów
\(\displaystyle{ \vec{AB}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{AC}}\).



Proszę przynajmniej o jakąś wskazówkę dot. tego zadania (próbowałem zastosować twierdzenie o podziale boku przez dwusieczną, ale to dotyczy stosunków długości odpowiednich odcinków, rozpisałem na 2 sposoby wektor\(\displaystyle{ \vec{AD}}\), ale to też mi nic nie dało).

[bartek118]

Ja bym próbował może twierdzenia cosinusów

[tatteredspire]

Próbowałem, ale nie wiem co zrobić z cosinusem kąta oraz jak połączyć zależności między długościami wektorów, a samymi wektorami.

-- 11 sie 2011, o 20:08 --

Ja bym próbował może twierdzenia cosinusów

-- 17 sie 2011, o 14:08 --Myślałem trochę nad tym zadaniem i jeśli się nie pomyliłem lub źle nie rozumuję, to taka powinna być odpowiedź:

Prawdą jest, że (każdy wektor leży w tej płaszczyźnie (bez układu współrzędnych), co dwa pozostałe) \(\displaystyle{ (\forall \vec{c} \neq \vec{0})(\forall \vec{a} \neq \vec{0})(\forall \vec{b} \neq \vec{0})(\exists \alpha \in \mathbb{R})(\exists \beta \in \mathbb{R})( (\neg (\vec{a}\parallel \vec{b})) \Rightarrow \vec{c}= \alpha \vec{a}+ \beta \vec{b})}\)

I teraz przechodzę do zadania (bazuję na rysunku z pierwszej wiadomości).

Ponieważ nie wiadomo w jakim stosunku dwusieczna AD dzieli bok BC stąd \(\displaystyle{ \vec{AD}= \alpha \vec{AB}+ \beta \vec{AC}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ \alpha}\) i dla pewnego \(\displaystyle{ \beta}\)

Z faktu, że punkty \(\displaystyle{ B,D,C}\) są współliniowe wyszło mi, że prawdziwa jest zależność \(\displaystyle{ \alpha + \beta =1}\)

Tak więc \(\displaystyle{ \vec{AD}= \alpha \vec{AB}+(1- \alpha )\vec{AC}}\) dla pewnej \(\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{R}}\).

Czy taka powinna być odpowiedź?