granica całki z sinusem

[miodzio1988]

Gotowca nie będzie. Jeszcze raz. Czy nasz ciąg funkcyjny jest zbieżny punktowo? Uzasadnij swoją odpowiedź.

W ten sposób się chociaż czegoś nauczyć, bo braki masz ogromne

[BlueSky]

A teraz pomyślałam tak: dlaczego nie można popatrzyć na wykresy funkcji \(\displaystyle{ sin^nx}\) na przedziale \(\displaystyle{ [0, \frac{\pi}{2}]}\). Skoro im n jest większe, tym ten wykres się bardziej spłaszcza do osi ox na tym przedziale, to w ten sposób pola obszarów pod wykresami na tym przedziale maleją aż do 0, zatem granica z tej całki to 0. Znowu źle myślę?

[bartek118]

To moja podpowiedź mała - rozpatruj przedział \(\displaystyle{ [0, \frac{\pi}{2})}\)

[BlueSky]

Ok, to dla przedziału \(\displaystyle{ [0, \frac{\pi}{2})}\) prawdą jest to, co napisałam?

[miodzio1988]

Jakbyś mogła wejść z granicą pod całkę to by była to prawda. Więc pozostaje jedna rzecz. Wejść z granicą pod całkę. Czy i jak możemy to zrobić? Myśl...

[BlueSky]

Napisałam już wcześniej, że więcej nie wymyślę, szkoda, że muszę to ciągle powtarzać...

[miodzio1988]

Jakie znasz twierdzenia o przechodzeniu z granicą pod znak całki? Tylko takie, które podałaś?
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty }
f_n(x)=}\)

dla twojego przedziału jest jakie? Podchwytliwe to jest pytanie

[bartek118]

Podpowiedź: Czy prawdą to będzie jeżeli ten ciąg funkcyjny będzie jednostajnie zbieżny na każdym przedziale domkniętym zawartym w przedziale \(\displaystyle{ [0, pi /2)}\)

[BlueSky]

Jakie znasz twierdzenia o przechodzeniu z granicą pod znak całki?

Po raz n-ty powtórzę, że więcej w tym temacie nic nie wiem lub też sobie nie przypomnę. Nie zadawaj mi więcej tego typu pytań, bo to do niczego nie doprowadzi. Jeżeli nie chcesz napisać mi prawidłowego rozwiązania, cóż, może bartek118 pomoże (a to co napisałeś, myślę, że jest prawdą.

[Rogal]

Ja to bym tylko chciał się dowiedzieć, jakim cudem ciąg \(\displaystyle{ f_{n}(x) = \sin^{n} x}\) nie jest zbieżny punktowo, a także na jakiego grzyba włazić pod tę całkę, skoro można sobie przyjąć:
\(\displaystyle{ g_{n} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n} x dx}\)
Następnie pogmerać trochę przy tej całce, by obniżyć potęgę sinusa o 2, dzięki czemu dostaniesz zależność rekurencyjną. Oblicz sobie \(\displaystyle{ g_{0},}\) dzięki czemu będziesz miała pełen obraz tej rekurencji.
A jak się liczy granicę ciągu danego rekurencyjnie, to już mniej więcej wiadomo.