caleczka z funkcji wymiernej

[ak44]

witam mam do obliczenia nastepujaca caleczke : \(\displaystyle{ \int\frac{ \ln x }{x( \ln ^ {2}x+2 \ln x +10)} \mbox{d}x}\)

wpadlem na pomysl, aby "cos zrobic" z tymi nieszczesnymi log a rytmami, podstawilem wiec za \(\displaystyle{ t= \ln x}\) i wyszlo mi cos takiego: \(\displaystyle{ \int\frac{t}{t^{2}+2t+10} \mbox{d}t}\) w dalszych krokach, pozamienialem to na ulamki proste i otrzymuje : \(\displaystyle{ \frac{t}{t^{2}+2t+10}=\frac{Ax+B}{t^{2}+2t+10}}\)
i tu zaczynaja sie schody. po wszelkich przeksztalceniach dochodze do wniosku ze A=0 ale nie wiem co z B. Wlasnie tutaj potrzebuje drobnej wskazowki. Z gory dziekuje

[lukasz1804]

Począwszy od tej całki \(\displaystyle{ \int\frac{t}{t^{2}+2t+10} dt}\) postąpiłbym inaczej. Najpierw rozkład na różnicę całek \(\displaystyle{ \int\frac{t}{t^{2}+2t+10} dt=\frac{1}{2}\int\frac{2t+2}{t^2+2t+10}dt-\int\frac{dt}{t^2+2t+10}}\); teraz pierwszą z nich można obliczyć wprost (licznik jest pochodną mianownika), a w drugiej należy sprowadzić trójmian w mianowniku do postaci kanonicznej i próbować otrzymać funkcję pierwotną zawierającą \(\displaystyle{ \arctan}\) (rozkład na ułamki proste nie ma tu zastosowania, bo trójmian w mianowniku jest nierozkładalny nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)).

[ak44]

czyli, wobec powyzszego calka: \(\displaystyle{ \int\frac{1}{(t+1)^{2}+9} \mbox{d}t=\int\frac{1}{t^{2}+2t+10} \mbox{d}t}\)
idąc dalej, zamieniam z powrotem do takiej postaci: \(\displaystyle{ \int\frac{1}{x( \ln x +1)^{2}+9} \mbox{d}x}\) aby moc zrobic maly manewr, mianowicie...podstawiamy.. \(\displaystyle{ t= \ln x +1}\)
i sedno watku...czy otrzymana calka \(\displaystyle{ \int\frac{1}{t^{2}+9} \mbox{d}t}\) jest prawidlowa po przeksztalceniach i czy moj wynik rowniez jest poprawny : \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{9}} \arc\tg \frac{t}{\sqrt{9}}}\) ponownie z gory dziekuje za kazda mozliwa odpowiedz...

[cosinus90]

Tak, przy czym zamień \(\displaystyle{ \sqrt{9}=3}\). Trochę namieszałeś, bo wystarczyło na początku podstawić np. \(\displaystyle{ t+1 = u}\), bo tak to dwie te same litery mogą Ci trochę pomylić, ale generalnie jest ok.