jądro i obraz homomorfizmu

anetaaneta1 · Post autor: **anetaaneta1** » 9 sie 2011, o 13:55

Wykazać ze jądro i obraz homomorfizmy h są podgrupami

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 9 sie 2011, o 13:56

Definicja podgrupy najpierw. Jakiego war. z tej definicji sprawdzić nie umiesZ?

anetaaneta1 · Post autor: **anetaaneta1** » 9 sie 2011, o 16:03

żadnego nie umiem ;(

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 9 sie 2011, o 16:20

To może inaczej - po kolei - czym jest jądro i obraz oraz co to znaczy, że jakiś zbiór jest podgrupą?

anetaaneta1 · Post autor: **anetaaneta1** » 9 sie 2011, o 16:34

\(\displaystyle{ \ker f=\{x\inG: h(x)=e\}}\)

\(\displaystyle{ \mathrm{im}\,f=\{y\in H: \exists-x\in G : h(x)=y\}}\)

warunki na podgrupe
1 \(\displaystyle{ \forall_{a,b\in H}\ ab\in H}\)
2 \(\displaystyle{ \forall_{a\in H}\ a^{-1}\in H}\)

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 9 sie 2011, o 16:35

no to po kolei. najpierw jądro homomorfizmu.
Weź a i b, które należą do \(\displaystyle{ \ker f}\). Co to znaczy, że a i b są w jądrze?

anetaaneta1 · Post autor: **anetaaneta1** » 9 sie 2011, o 16:36

to znaczy że \(\displaystyle{ h(a)=e}\) i \(\displaystyle{ h(b)=e}\)

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 9 sie 2011, o 16:46

No dobrze, to teraz sprawdzamy aksjomaty podgrupy. Z definicji homomorfizmu policz co to jest \(\displaystyle{ h(ab)}\)

anetaaneta1 · Post autor: **anetaaneta1** » 9 sie 2011, o 16:52

\(\displaystyle{ h(ab)=h(a)h(b)}\)

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 9 sie 2011, o 17:05

no dobrze, ale dalej? co napisałaś w poprzednim poście?

anetaaneta1 · Post autor: **anetaaneta1** » 9 sie 2011, o 17:22

czyli \(\displaystyle{ h(ab)=ee=e}\) czyli warunek spełniony bo \(\displaystyle{ h(e)=e}\) ?

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 9 sie 2011, o 17:24

na razie otrzymałaś, że \(\displaystyle{ h(ab)=e}\), czyli \(\displaystyle{ ab \in \ker h}\). jeżeli teraz jeszcze udowodnisz w analogiczny sposób, że \(\displaystyle{ h(a^{-1})=e}\) dla \(\displaystyle{ a \in \ker h}\), to otrzymasz, że \(\displaystyle{ \ker h}\) jest podgrupą

anetaaneta1 · Post autor: **anetaaneta1** » 9 sie 2011, o 17:31

ale jak to mam udowodnić bo niewiem za bardzo

\(\displaystyle{ a\in \ker h\\ h(a)=e}\)

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 9 sie 2011, o 17:36

No dobra, to pokażę Ci jak zrobić to teraz z tym \(\displaystyle{ a^{-1}}\), a Ty spróbuj coś zrobić z obrazem tego odwzorowania.

Niech \(\displaystyle{ a\in \ker h}\). Mamy pokazać, że \(\displaystyle{ a^{-1} \in \ker h}\), tj. że \(\displaystyle{ h(a^{-1})=e}\).

No to lecimy.
Wiemy, że \(\displaystyle{ h(a)=e}\), więc liczymy:

\(\displaystyle{ h(a^{-1})=h(a^{-1})e=h(a^{-1})h(a)=h(a^{-1}a)=h(e)=e}\).

Teraz Ty spróbuj pokazać, że obraz jest grupą. Najpierw weź a i b z obrazu i udowodnij, że ab też należy do obrazu

anetaaneta1 · Post autor: **anetaaneta1** » 9 sie 2011, o 17:49

niech \(\displaystyle{ a,b\in \mathrm{im}\,h}\)
istnieje \(\displaystyle{ c,d\in G: h(c)=a \wedge h(d)=b}\)
\(\displaystyle{ h(c)h(d)=ab\\ h(cd)=ab\Rightarrow ab\in \im h}\)

a ten 2 warunek to mi nie wychodzi :/