Ile wody w roztworze

[PiotrekS]

Witam.
Nie mogę poradzić sobie z takim zadaniem:

Do roztworu zawierającego \(\displaystyle{ 40 \ \text{g}}\) czystej soli dodano \(\displaystyle{ 200 \ \text{g}}\) czystej wody otrzymując roztwór o stężeniu o \(\displaystyle{ 10\%}\) mniejszym niż poprzednio. Ile czystej wody zawierał roztwór początkowo.

Mógłby mi ktoś powiedzieć jak należy ułożyć układ równań do tego zadania?
Pozdrawiam, PiotrekS

[aalmond]

Jeżeli \(\displaystyle{ x}\) to ilość wody przed dodaniem, to jak wyrazić początkowe stężenie?

[PiotrekS]

iloraz substancji przez ilosci roztworu

[aalmond]

Napisz to w postaci wyrażenia.

[PiotrekS]

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=\frac{40}{y} \cdot 100\% \\x-10\%=\frac{40}{y+200} \cdot 100\%\end{cases}}\)

Zrobiłem coś takiego. Równanie wydaje mi się być prawidłowe ale nie wiem jak je rozwiązać.
//Edit
x - stężenie
y - ilość wody

[kamil13151]

\(\displaystyle{ 100 \cdot \frac{40}{y} =100\left( \frac{40}{y+200}\right) +10}\)

[PiotrekS]

A jeszcze pytanie. Jak to pociągnąć dalej?
Przemnożyć obustronnie przez y raczej nie mogę bo co się wtedy stanie z \(\displaystyle{ \frac{40}{y+200}}\).

[Quaerens]

Jak to się zwykle rzecze: niewiadome na lewą, wiadome na prawą. Potem ewentualnie podziel obustronnie przez coś.

[Inkwizytor]

To nie jest prawidłowy układ równań (pierwsze równanie). Definicja stężenia procentowego się kłania Albo zmiana oznaczenia

Można układem równań ale możesz też dodatkowo zastosować zasadę: w czasie rozcieńczania roztworów ilość substancji rozpuszczonej nie zmienia się.

[PiotrekS]

Chodzi Ci o to że powinno być \(\displaystyle{ \frac{40}{y+40}}\)

A więc teraz nasze równanie wygląda tak:
\(\displaystyle{ \ \frac{40}{y+40}- \frac{40}{y+240}=0.1}\)

Pomnożyć obustronnie przez \(\displaystyle{ y}\) ani przez \(\displaystyle{ y+40}\) raczej nie mogę. Jakieś sugestie?

//Równanie poprawione.
Wynik wynosi 160 więc po podstawieniu wychodzi dobrze. Tylko nie wiem jak mogę się pozbyć z mianownika y. Gdy próbuje przez niego przemnożyć to głupoty wychodzą. Tak samo gdy próbuje przemnożyć przez \(\displaystyle{ y+40}\)

[aalmond]

A więc teraz nasze równanie wygląda tak:
\(\displaystyle{ \ \frac{40}{y+40}- \frac{40}{y+240} =10}\)

No nie do końca. Popraw, a potem pomnóż obustronnie przez iloczyn mianowników

roztwór o stężeniu o 10\% mniejszym

rozumiem, że tu chodzi o punkty procentowe

[PiotrekS]

Popraw, a potem pomnóż obustronnie przez iloczyn mianowników

\(\displaystyle{ \left( y+40\right)\cdot\left( y+240\right)=y^2 + 240y+40y+9600=y^2 + 280y+9600}\)
Jesteś pewny?

[aalmond]

\(\displaystyle{ \frac{4000}{y+40}- \frac{4000}{y+240} =10/:10 \\
\frac{400}{y+40}- \frac{400}{y+240} =1 / \cdot (y+40)(y+240)\\
400(y+240)-400(y+40) = (y+40)(y+240)}\)

[PiotrekS]

Że tak się da to nie pomyślałem. Ale w każdym bądź razie z funkcji kwadratowej wyszedł mi poprawny wynik. Wielkie dzięki wszystkim za pomoc.

[Inkwizytor]

Wystarczy sobie jako jedną z niewiadomych oznaczyc masę roztworu na początku. Wówczas:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 40g= \frac{X \%}{100 \%} \cdot m_r \\ 40g= \frac{X-10 \%}{100 \%} \cdot (m_r +200) \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 4000= X \cdot m_r \\ 4000 = (X-10) \cdot (m_r +200) \end{cases}}\)
Przyrównujemy:
\(\displaystyle{ x \cdot m_r = (X-10) \cdot (m_r +200)}\)
...i wychodzi z tego ładna zależność pomiędzy \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ m_r}\) bez skomplikowanych mianowników