[Kombinatoryka] 2n+1 liczb, równe sumy

[Burii]

Dodatnie liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a _{1}}\), \(\displaystyle{ a _{2}}\)... \(\displaystyle{ a _{2n+1}}\) maja następującą własność po usunięciu liczby \(\displaystyle{ a _{i}}\) \(\displaystyle{ (i \in \left[ 1,...2n+1\right])}\) resztę możemy podzielić na da równoliczne zbiory o mocy \(\displaystyle{ n}\) które posiadają tę samą sumę elementów. Pokaż, że wszystkie liczby są równe.

[cyberciq]

Ja bym szedł w tym kierunku,że jak od wszystkich \(\displaystyle{ 2n+1}\) liczb odejmiemy \(\displaystyle{ min \left\{ a _{i} \right\}}\) to otrzymamy równoważny układ liczb, gdzie będą się znajdować liczba/liczby równe zero.

pozdrawiam

[Swistak]

Jeżeli \(\displaystyle{ a_i}\) są całkowite, to znane, ale tu mamy rzeczywiste, zatem pytać jerzozwierza o jakieś bazy nad czymśtam i inne sratytaty, którymi on się jara, bo on to z tego skminił.

[KPR]

Sam jesteś sratytaty

Ukryta treść:    

Rozważmy przestrzeń liniową nad Q, która zawiera wszystkie dane liczby. Niech \(\displaystyle{ \{b_1,b_2,\dots,b_k\}}\) będzie bazą tej przestrzeni. Niech \(\displaystyle{ a_i=\sum\limits_{i=1}^k c_ib_i}\). Łatwo jest sprawdzić, że z warunku danego w zadaniu wynika, że zachodzi on też dla każdej współzędnej. Wystarczy zatem zrobić zadanie dla liczb wymiernych, bo jeżeli każda współrzędna będzie równa dla wszystkich liczb, to wszystkie będą sobie równe.
To zrobimy dla wymiernych. Mnożymy przez wspólny mianownik i mamy całkowite. Jeżeli któraś z nich jest mniejsza od 0, to bierzemy najmniejszą z liczb i odejmujemy ja od wszystkich pozostałych. Warunki zadania nadal są spełnione i wszystkie liczby są nieujemne. Teraz przeprowadzimy indukcję po maksimum ze wszystkich liczb. Jeśli jest równe 0, to teza jest oczywista. Załóżmy teraz, że teza zachodzi dla każdego maksimum mniejszego od \(\displaystyle{ m>0}\) i rozważmy \(\displaystyle{ 2n+1}\) liczb całkowitych nieujemnych, które spełniają warunki zadania, których maksimum wynosi \(\displaystyle{ m}\). Łatwo zauważyć, że każda z liczb ma taką samą parzystość jak ich suma, zatem wszystkie mają taką samą. Jeżeli są parzyste,to dzielimy przez dwa i odpalamy założenie indukcyjne, w przeciwnym wypadku odejmujemy od wszystkich 1 (nadal będą nieujemne i będą spełniały założenia), dzielimy przez dwa i odpalamy założenie indukcyjne. Na mocy zasady indukcji matematycznej dostajemy tezę dla liczb całkowitych nieujemnych, c.k.d.