Kresy zbioru.

[MarlenQs]

Wyznaczyc kres dolny, gorny, sup i inf zbioru:

\(\displaystyle{ M_1=\{y=\sin x+\cos x: x\in \mathbb R\}}\)

\(\displaystyle{ M_2= \left\{ y=1+ \frac{1}{x^2} :x \ge 1, x\in \mathbb R\right\}}\)

[Chromosom]

[tatteredspire]

Wyznaczyc kres dolny, gorny, sup i inf zbioru:

\(\displaystyle{ M_1=\{y=\sin x+\cos x: x\in \mathbb R\}}\)

\(\displaystyle{ M_2= \left\{ y=1+ \frac{1}{x^2} :x \ge 1, x\in \mathbb R\right\}}\)

Ad M1.

Wykorzystaj wzory:

\(\displaystyle{ \cos x = \sin \left(\frac{ \pi }{2} - x\right)}\)

\(\displaystyle{ \sin x + \sin y=2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}}\)

Ad M2.

Zwróć uwagę na ułamek i dziedzinę.

[brzoskwinka1]

\(\displaystyle{ \sin x +\cos x =\sqrt{2}\cdot \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x\right)=\sqrt{2} \cdot \left(\cos\frac{\pi}{4} \sin x +\sin\frac{\pi}{4} \cos x \right)=\sqrt{2}\cdot \sin\left( x+\frac{\pi}{4}\right)}\)
stąd już łatwo widać, że
\(\displaystyle{ \inf M_1 =-\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \sup M_1 =\sqrt{2}}\)