równanie różniczkowe jednorodne

[wojteks90]

Czy mógłby mi ktoś pomóc w rozwiązaniu tego zadania krok po kroku?
\(\displaystyle{ x \frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}y} \cos \frac{y}{x} = y\cos \frac{y}{x} - x}\)
Podstawiłem za \(\displaystyle{ \frac{y}{x}=t}\) i otrzymałem \(\displaystyle{ \left( t+x \frac{\mbox{d}t}{\mbox{d}x} \right) \cos t = t \cos t -1}\)
jestem nowy na forum więc sorki za błedy.

[miodzio1988]

zakładając, że dobrze zrobiłeś podstawienie ( tego nie sprawdzam) to patrzysz jaki typ równania otrzymałeś. jaki?

[wojteks90]

zakładając, że dobrze zrobiłeś podstawienie ( tego nie sprawdzam) to patrzysz jaki typ równania otrzymałeś. jaki?

sorki ale nie wiem za bardzo jeszcze nie ogarniam tych różniczek

[miodzio1988]

No to zacznij od podstaw. naucz się jak wyglądają podstawowe typu równań różniczkowych i wtedy będzie o czym gadać

[wojteks90]

chodzi Ci o to, że jest to równanie o zmiennych rozdzielonych?

[miodzio1988]

A jest? No to rozdziel zmienne

[wojteks90]

tylko właśnie nie wiem jak.
ogólnie to zadanie jest w temacie zmiennych jednorodnych i wcześniejsze przykłady udawało mi się rozwiązać, a przy tym w rozwiązaniu jest jakieś dziwne przejscie z
\(\displaystyle{ \left( t+x \frac{\mbox{d}t}{\mbox{d}x} \right) \cos t = t \cos t -1}\)
do
\(\displaystyle{ x \cos t \frac{\mbox{d}t}{\mbox{d}x}=-1}\) nie wiem skąd to się wzielo

[miodzio1988]

Podziel sobie strony przez \(\displaystyle{ \cos t}\). Wtedy już powinieneś wiedzieć co robić dalej

[wojteks90]

ok już wiem:) dzięki za pomoc:)

[Tomek_Fizyk-10]

Wojteks90, Mógłbyś rozpisać swoje podstawienie za \(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}x }{ \mbox{d}y }}\) , gdyż mam takie wrażenie, iż nie zostało ono wykonane poprawnie...

[janusz47]

Jest to równanie jednorodne wzlędem x i y.
\(\displaystyle{ x \neq 0,}\)
Doprowadziłeś prawidłowo do postaci:
\(\displaystyle{ \left( t + x\frac{dt}{dx}\right)\cos(t) = t\cos(t) -1}\)
Po wymnożeniu lewej strony i zredukowaniu \(\displaystyle{ t\cos(t)}\)
\(\displaystyle{ t\cos(t) + x\cos(t)\frac{dt}{dx} = t\cos(t) -1,}\)
\(\displaystyle{ x\cos(t) \frac{dt}{dx} = -1,}\)
Rozdzielamy zmienne
\(\displaystyle{ -\cos(t)dt = \frac{1}{x}dx,}\)
Całkujemy obustronnie
\(\displaystyle{ -\int \cos(t)dt = \int \frac{1}{x}dx,}\)
\(\displaystyle{ -\sin(t) + A = \ln|x|,}\)
\(\displaystyle{ x = \pm e^{-\sin(t) + A} = Ce^{-\sin(t)}= Ce^{-\sin( \frac{y}{x})}, \ C = \pm e^{A}.}\)

[Tomek_Fizyk-10]

Wszystko się zgadza, tylko w swoich obliczeniach nie mogę dojść do tej postaci: \(\displaystyle{ \left( t + x\frac{ \mbox{d}t}{ \mbox{d}x } \right) \cos(t) = t\cos(t) -1}\) , szczególnie chodzi o nawias po lewej stronie...
Jeśli możecie rozpisać mi pochodną \(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}x }{ \mbox{dy} }}\) , tak by dojść do tego, co jest w tym nawiasie będę bardzo wdzięczny...
Przepraszam za kłopot i z góry dziękuję za pomoc!

[miodzio1988]

A problem jest jaki?

równanie różniczkowe

Google


I masz plik doc, który wszystko wyjaśnia

[Tomek_Fizyk-10]

Powracając do tajemniczego nawiasu: \(\displaystyle{ \left( t+x \frac{ \mbox{d}t }{ \mbox{d}x } \right)}\)

\(\displaystyle{ t = \frac{y}{x}}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ x = \frac{y}{t}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}x }{ \mbox{d}y } = \left( \frac{y}{t} \right) ' = \frac{ \mbox{d} }{ \mbox{d}y } \left( \frac{y}{t} \right) = \frac{y' \cdot t - y \cdot t'}{t ^{2} } = \frac{t - y \cdot \frac{ \mbox{d}t }{ \mbox{d}y } }{t ^{2} } = \frac{t - \frac{y}{t} \cdot \frac{ \mbox{d}t }{ \mbox{d}x } }{t ^{2} } = \frac{t - x \cdot \frac{ \mbox{d}t }{ \mbox{d}x } }{t ^{2} }}\) ...
No i jak można dojść do tego tajemniczego nawiasu...?

[miodzio1988]

A problem jest jaki?

równanie różniczkowe

Google


I masz plik doc, który wszystko wyjaśnia

ehem....ciężko tak z google jest korzystać?