Witam, rozwiązuje pewne arkusze z r. prwdp. i mam problem przy dwóch pytaniach. Może ktoś zna odpowiedź?
1) Ile co najmniej i ile co najwyżej elementów może mieć algebra zdarzeń, jeśli przestrzeń zdarzeń elementarnych ma n elementów?
2) Czy istnieje algebra zdarzeń, w której liczba zdarzeń jest nieparzysta?
Pozdrawiam
Algebra zdarzeń
-
szw1710
Algebra zdarzeń
1a) Co najmniej dwa zdarzenia: niemożliwe (zbiór pusty) i pewne (cała przestrzeń). Rodzina \(\displaystyle{ (\varnothing,\Omega)}\) jest algebrą zdarzeń. Wraz z danym zbiorem do algebry należy jego dopełnienie. Dlatego jeśli masz zbiór pusty, to i automatycznie całą przestrzeń. A zbió pusty należy do algebry z definicji.
1b) Co najwyżej tyle, ile wszystkich podzbiorów ma zbiór \(\displaystyle{ n}\)-elementowy, tzn. \(\displaystyle{ 2^n.}\) Wtedy algebrą zdarzeń jest rodzina wszystkich podzbiorów \(\displaystyle{ \Omega.}\)
2) Z uwagi zawartej w 1a) wraz ze zdarzeniem do algebry należy jego zdarzenie przeciwne. Więc żeby liczba zdarzeń była nieparzysta, jedno ze zdarzeń musiałoby być do siebie przeciwnym. Możliwe to jest tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \Omega=\varnothing.}\) Nie pamiętam czy dopuszcza się taką patologiczną możliwość. Poza nią istnienie nieparzystej liczby wszystkich zdarzeń jest niemożliwe.
1b) Co najwyżej tyle, ile wszystkich podzbiorów ma zbiór \(\displaystyle{ n}\)-elementowy, tzn. \(\displaystyle{ 2^n.}\) Wtedy algebrą zdarzeń jest rodzina wszystkich podzbiorów \(\displaystyle{ \Omega.}\)
2) Z uwagi zawartej w 1a) wraz ze zdarzeniem do algebry należy jego zdarzenie przeciwne. Więc żeby liczba zdarzeń była nieparzysta, jedno ze zdarzeń musiałoby być do siebie przeciwnym. Możliwe to jest tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \Omega=\varnothing.}\) Nie pamiętam czy dopuszcza się taką patologiczną możliwość. Poza nią istnienie nieparzystej liczby wszystkich zdarzeń jest niemożliwe.