Ciąg ograniczony

[Giks]

Mam takie zadanie:

Zbadać, czy podane ciągi są ograniczone

no i weźmy taki przykład:

\(\displaystyle{ a _{n}= \frac{n}{n+1}}\)

Ja widzę, że on jest ograniczony z dołu przez 0 a z góry przez 1 ale jak to się bada?

[xanowron]

Udowodnij, że jest ograniczony z dołu i z góry, i gotowe.

[Giks]

No ale ja właśnie pytam jak to się robi? Mam obliczać po kolei kilka pierwszych elementów ciągu i to pokazać?

[pyzol]

Ja widzę, że on jest ograniczony z dołu przez 0 a z góry przez 1 ale jak to się bada?

Więc pokaż to:
\(\displaystyle{ 0 \le \frac{n}{n+1} \le 1}\)
Jak no to już się zastanów, obydwie nierówności są dość oczywiste...

[Giks]

Ale co teraz należy te nierówności rozwiązać czy tak zostawić i wystarczy?

[pyzol]

To już twoja sprawa jak to zrobisz, np. w pierwszej masz iloraz liczb dodatnich, czy może on być ujemny. Druga też jest oczywista, bo mianownik jest większy od licznika...

[Giks]

A takie przykłady jak zrobić?:
A) \(\displaystyle{ \log _{3}n}\)
B) \(\displaystyle{ n\bigl|\sin (n \pi)\bigr|}\)

[miodzio1988]

a) wystarczy zerknąć na wykres takiego logarytmu...

[Lorek]

b) zastanów się ile wynosi \(\displaystyle{ \sin (n\pi)}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego.