grupa abelowa

anetaaneta1 · Post autor: **anetaaneta1** » 1 sie 2011, o 13:55

Wykazać ze każda grupa rzędu nir wyższego niż 5 jest grupą abelową

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 1 sie 2011, o 14:06

wszystkie grupy rzedu \(\displaystyle{ 2,3,5}\) sa cykliczne tj. tym bardziej abelowe (ich rzad jest liczba pierwsza) Grupy G rzedu \(\displaystyle{ 4}\) -niecykliczne (nie majace elementu rzedu 4) spełniaja \(\displaystyle{ a^2=e}\) dla \(\displaystyle{ a \in G}\),tez sa wiec abelowe.
Dopiero od rzedu \(\displaystyle{ 6}\) zdarzaja sie grupy nieabelowe (np. \(\displaystyle{ S_3}\))

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 1 sie 2011, o 14:07

Rzędu 1 - trywialna, więc jest. Rzędu 2 - tylko cykliczna, 3, też, 5 też. Mamy z dokładnością do izomorfizmu dwie grupy czteroelementowe: cykliczną i czwórkę Kleina \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2.}\) Cykliczna zawsze jest przemienna, czwórka Kleina jako produkt grup abelowych też.

skolukmar · Post autor: **skolukmar** » 17 sie 2011, o 16:42

Przy okazji mam takie pytanie:

Czy jest ogólne twierdzenie, że np każda grupa rzędu \(\displaystyle{ n}\), gdzie \(\displaystyle{ n}\) to np liczby pierwsze, (albo spełniające jakieś kryterium) jest apelowa ?

Rogal · Post autor: **Rogal** » 17 sie 2011, o 19:20

Gdy rząd jest liczbą pierwszą, to grupa jest cykliczna - nietrudno tego dowieść.
Istnieje również twierdzenie klasyfikujące wszystkie grupy abelowe - do znalezienia.