całka z pierwiastka

[cichy303]

wiem ze przez podstawienie ale coś mi nie wychodzi mozna prosić o dokłądne rozpisanie?

\(\displaystyle{ \int_{1}^{2} \sqrt{2x+1}\,\mbox dx}\)

[Simon86]

podstawiasz \(\displaystyle{ 2x + 1 = t}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \int_{3}^{5} \sqrt{t}\,\mbox dt}\)

[cichy303]

a czemu zakres całkowania zmieniłeś

[Simon86]

Bo wcześniej mieliśmy zakres całkowania dla zmiennej \(\displaystyle{ x}\), po podstawieniu całkuje po zmiennej \(\displaystyle{ t}\) dla której jest inny zakres całkowania.

[cichy303]

a mugłbyś mi to jakoś rozpisać bo nie mogę zakminić

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ t=2x + 1}\)

wstaw granice całkowania za \(\displaystyle{ x}\) tutaj

[cichy303]

to chyba ja mam jakies braki bo nie czaje

roziąznaie w książce mam takie

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \sqrt{2x+1}\,\mbox dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}\left[(2x+1) ^{ \frac{2}{3} }\right] _{2}^{1} =\frac16\left(5 \sqrt{5} -3 \sqrt{3}\right)}\)

i zabardzo nie wiem to podstwienie w 2 części równania

[dwumian]

Po wstawieniu do kalkulatorów całek zakres całkowania się nie zmienia. Wiem, że po podstawieniu całkujemy po innej zmiennej, ale 2 kalkulatory podały wynik bez zmieniania tych zakresów.

Wykładnik masz zły \(\displaystyle{ (2x+1) ^{ \frac{3}{2} }}\) powinien być, zamiast \(\displaystyle{ (2x+1) ^{ \frac{2}{3} }}\) i granice całkowania są niepotrzebnie są odwrócone.

Po co tu przed całą całką \(\displaystyle{ \frac{1}{2} }}\), skoro Twoja pierwsza całka, którą miałeś liczyć nie posiadała tego ?

[cichy303]

czy to bedzie tak???

\(\displaystyle{ \sqrt{2x+1}dx}\)
\(\displaystyle{ 2x+1= t}\) to \(\displaystyle{ t^{ \frac{1}{2} }dx= dt}\)

i co dalej

[miodzio1988]

Dalej masz elementarną całkę, którą powinieneś już umieć obliczyć...

[dwumian]

Nie wiem po co pierwiastkujesz \(\displaystyle{ t}\).

\(\displaystyle{ t=2x+1\\dt=2dx}\)

Podstawiasz \(\displaystyle{ t}\) i dalej rozwiązujesz z elementarnego wzoru.

Miodzio, jestem w tym temacie niezbyt zaawansowany i jeszcze nie poszedłem do liceum, całki nauczyłem się rozwiązywać sam i nigdzie nie było napisane, że trzeba zmieniać granice całkowania przy podstawianiu innej zmiennej, 2 kalkulatory to potwierdziły.

[Arst]

Zachodzi twierdzenie:
Niech \(\displaystyle{ \phi (t) \in C^1([\alpha, \beta])}\) (tzn. że ciągła jest pierwsza pochodna \(\displaystyle{ \phi}\) na zadanym przedziale). Oznaczmy sobie \(\displaystyle{ \min_{t \in [\alpha, \beta]} \phi (t) = m}\) oraz \(\displaystyle{ \max_{t \in [\alpha, \beta]} \phi (t) = M}\)

Jeśli \(\displaystyle{ f \in C([m,M])}\) oraz \(\displaystyle{ \phi (\alpha)=a \ i \ \phi(\beta)=b}\), to zachodzi równość:

\(\displaystyle{ \int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(\phi(t))\cdot \phi ' (t) \mbox{d}t}\)

Łatwy dowód można przeprowadzić korzystając z ze związku całki oznaczonej z jej pierwotną.

Pozdrawiam,
A.

[miodzio1988]

nigdzie nie było napisane, że trzeba zmieniać granice całkowania przy podstawianiu innej zmiennej

No to najpierw musisz liczyć całkę nieoznaczoną. Bo jeżeli zaczynasz podstawianie w całce oznaczonej to musisz zmienić granice całkowania.