udowodnienie prawdziwości

[je?op]

\(\displaystyle{ 2< \log_{3}4+\log _{4}3<3}\)

zapominałem jak to się robi, proszę o pomoc

[ares41]

\(\displaystyle{ \log_{3}4<\log_{3}9 \\ \log _{4}3<\log_{4}4}\)
Dodając stronami mamy prawą stronę.

Aby udowodnić lewą nierówność skorzystaj z zależności:
\(\displaystyle{ \log_{a}b= \frac{1}{\log_{b}a}}\)

[Marcinek665]

Lewą można też tak:

\(\displaystyle{ \log_{3}4+\log _{4}3 = \log_{3}4 + \frac{1}{\log_{3}4} > 2}\), co jest prawdą na mocy nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną. Nierówność jest oczywiście ostra, bo \(\displaystyle{ \log_{3}4 \neq \log_{4}3}\)

Ale nie wiem, czy właśnie o to nie chodziło aresowi41.

[ares41]

Raczej chciałem pokazać to ten sposób:
\(\displaystyle{ a+ \frac{1}{a} >2 \Leftrightarrow \left[ a^2+1>2a \ \wedge \ a \in \mathbb R_+ \right] \Leftrightarrow \left[ \left(a-1\right)^2>0 \ \wedge \ a \in \mathbb R_+\right]}\), co jest oczywiście prawdą w naszym przypadku ,bo \(\displaystyle{ \log_{3}4 \in \mathbb R_+}\)

[Marcinek665]

Nierówność \(\displaystyle{ (x-1)^2 \ge 0}\) zachodzi dla dowolnych \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\), jednak \(\displaystyle{ (x-1)^2 >0}\) już "tylko" dla \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R} \setminus \{ 1 \}}\), więc istotne tu jest, że \(\displaystyle{ \log_{3}4 \neq 1}\). To wystarcza

Swoją drogą moje rozwiązanie jest identyczne, tylko zamiast dowodu pokusiłem się o komentarz słowny, bo wiadomo, że na mocy AM-GM mamy:

\(\displaystyle{ \frac{1}{a} + a \ge 2 \sqrt{\frac{1}{a} \cdot a} = 2}\). Jednak równość tutaj zachodzi jedynie dla równych argumentów, więc musi być:

\(\displaystyle{ \frac{1}{a} = a}\), czyli w istocie \(\displaystyle{ a=1}\), bo liczby ujemne odrzucamy. I dochodzimy do tego samego - skoro \(\displaystyle{ \log_{3}4 \neq 1}\), to mamy nierówność ostrą, a tego należało dowieść.

Pozdrawiam

[ares41]

Nierówność \(\displaystyle{ (x-1)^2 \ge 0}\) zachodzi dla dowolnych \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\), jednak \(\displaystyle{ (x-1)^2 >0}\) już "tylko" dla \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R} \setminus \{ 1 \}}\), więc istotne tu jest, że \(\displaystyle{ \log_{3}4 \neq 1}\). To wystarcza

Nie do końca
Przechodząc z nierówności:
\(\displaystyle{ \frac{1}{a} + a > 2}\)
do nierówności
\(\displaystyle{ a^2+1>2a}\)
muszę zrobić założenie, że \(\displaystyle{ a>0}\) (dlaczego? )

[Marcinek665]

Założenie o \(\displaystyle{ a>0}\) po cichu nałożyłem, bo w końcu korzystałem z AM-GM. Chodziło tylko o to, że aby nierówność była ostra, to nie dość, że ten logarytm musi być dodatni, to także koniecznie musi być różny od \(\displaystyle{ 1}\)

Fajna dyskusja