Oblicz pracę, jaką należy wykonać, aby ciało o masie m=1...

damian7154 · Post autor: **damian7154** » 30 lip 2011, o 16:47

Oblicz pracę, jaką należy wykonać, aby ciało o masie \(\displaystyle{ m=1 kg}\) z powierzchni Ziemi, ruchem jednostajnym, przenieść na wysokość równą promieniowi ziemskiemu. Promień Ziemi \(\displaystyle{ Rz=6370 km}\), a przyspieszenie ziemskie \(\displaystyle{ g=9,8 \frac{m}{s ^{2} }}\). Szukałem wszędzie i jest podawana błędna odpowiedź. Na jednym forum fizycznym pisali w stylu "poszukaj bo to już było", ale oczywiście nie było, nie potrafili tego zrobić. Wynik to \(\displaystyle{ 3,12 \cdot 10^{7} J}\)

ares41 · Post autor: **ares41** » 30 lip 2011, o 18:05

Szukana praca jest równa różnicy energii potencjalnych : na danej wysokości i na powierzchni Ziemi

damian7154 · Post autor: **damian7154** » 31 lip 2011, o 13:54

a wzór na energię potencjalną na wysokości? ja korzystałem ze wzoru na pracę \(\displaystyle{ Fs\cos}\)

ares41 · Post autor: **ares41** » 31 lip 2011, o 14:09

damian7154 pisze:a wzór na energię potencjalną na wysokości?

Wikipedia -> Energia potencjalna w polu grawitacyjnym

damian7154 pisze:ja korzystałem ze wzoru na pracę \(\displaystyle{ Fscos}\)

Jakby jeszcze siła była stała.........

W tym przypadku
\(\displaystyle{ W= \int_{R_z}^{2R_z} F(r)\mbox{d}r}\)

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 31 lip 2011, o 14:10

ares41, myślę, że w tym przypadku Twoja pierwsza wskazówka w zupełności wystarczy

damian7154 · Post autor: **damian7154** » 31 lip 2011, o 14:18

To jest zadanie z 1 klasy LO a to co Ares napisał...
wiem jeszcze o wzorze z minusem, ale jeśli ma być różnica sił no to - odjąć - daje +. Chyba, że ten minus się nie liczy?

ares41 · Post autor: **ares41** » 31 lip 2011, o 14:31

damian7154 pisze:wiem jeszcze o wzorze z minusem, ale jeśli ma być różnica sił no to - odjąć - daje +. Chyba, że ten minus się nie liczy?

Chcesz liczyć pracę odejmując siły?

Policz energię potencjalną na tej wysokości i odejmij energię potencjalną na powierzchni Ziemi.

wzór na energię potencjalną:
\(\displaystyle{ E_p=- \frac{GMm}{r}}\)

damian7154 · Post autor: **damian7154** » 31 lip 2011, o 18:50

Czuję się jak jakiś kretyn. Jakiś gość na innym forum podał mi rozwiązania z przekształceniami i w ogóle nie kumam nic. Z tego wzoru co mi napisałeś najpierw mam energię na wysokości czyli 2R i od tego odejmuję wysokość na R. To wszystko?

ares41 · Post autor: **ares41** » 31 lip 2011, o 18:57

damian7154 pisze: i od tego odejmuję wysokość na R

energię, nie wysokość
Poza tym Ok.

damian7154 pisze:To wszystko?

Tak.
(Jeszcze tylko zamiana jednostek przed podstawieniem do wzoru ).

damian7154 · Post autor: **damian7154** » 31 lip 2011, o 21:48

Wyliczyłem. Swoim sposobem, ale wyliczyłem (zawsze kombinuję na kilka sposobów). Dzięki za pomoc i cierpliwość ares.
Chciałbym trochę się podszkolić w tej grawitacji. Czytałem podręcznik, ale jak widać trzeba mi było tłumaczyć jak głupiemu to zadanie. Co jest lepsze? Takie liczenie zadań czy wkuwanie teorii?
Napisałeś, żebym od grawitacji na powierzchni odjął tą wyżej, a ja zrobiłem na odwrót i wyszło
jaka to różnica?

ares41 · Post autor: **ares41** » 31 lip 2011, o 22:06

damian7154 pisze:Napisałeś, żebym od grawitacji na powierzchni odjął tą wyżej,

W pierwszym poście napisałem poprawnie:

ares41 pisze:Szukana praca jest równa różnicy energii potencjalnych : na danej wysokości i na powierzchni Ziemi

a w przedostatnim się przejęzyczyłem (już poprawiłem ),
więc to co obliczyłeś jest poprawnie.

damian7154 pisze:jaka to różnica?

Te wyniki różnią się znakiem.
Jeżeli odjąłbyś odwrotnie to otrzymałbyś pracę siły grawitacji, czyli siły różniącej się tylko zwrotem od siły którą działamy przesuwając to ciało z Ziemi na daną wysokość, stąd przeciwny znak.

To zadanie można jeszcze rozwiązać korzystając ze wzoru:
\(\displaystyle{ W=F_{\text{śr}}x}\)
pod warunkiem, że wstawimy tam średnią siłę, będącą średnią geometryczną sił grawitacji: działającej na wysokości \(\displaystyle{ h}\) i na powierzchni Ziemi.

damian7154 pisze:Co jest lepsze? Takie liczenie zadań czy wkuwanie teorii?

I jedno i drugie. Żeby robić zadania trzeba znać teorię ( bo dobrze jest wiedzieć co się robi ), ale żeby mieć wprawę w dostrzeganiu pewnych faktów, trzeba zrobić sporo zadań, najlepiej jest pod koniec przerabiania działu robić zadania, które wymagają używania wiadomości z wielu podrozdziałów z danego działu.

oskar11 · Post autor: **oskar11** » 1 sie 2011, o 00:12

Nie jestem co prawda w temacie, ale zajrzałem do teorii i czy obliczenia pod to wyglądałyby jak poniżej?

\(\displaystyle{ W=-\frac{6.67 \cdot 10^{-11}\frac{m^3}{kgs^2} \cdot 6 \cdot 10^{24} \cdot 1kg}{6370000m}+\frac{6.67 \cdot 10^{-11}\frac{m^3}{kgs^2} \cdot 6 \cdot 10^{24} \cdot 1kg}{2 \cdot 6370000m}=-31412872 \approx -3.14 \cdot 10^7\frac{kgm^2}{s^2}=-3.14 \cdot 10^7J}\)

Swoja drogą jak to jest z tym znakiem tutaj? Energia potencjalna jest zerowa dla nieskończonego r? Mógłby ktoś wyjaśnić dlaczego?

ares41 · Post autor: **ares41** » 1 sie 2011, o 08:14

oskar11 pisze:czy obliczenia pod to wyglądałyby jak poniżej?

Akurat odwrotnie.
Praca sił zewnętrznych wyraża się wzorem:
\(\displaystyle{ W=-GMm \left( \frac{1}{2R} - \frac{1}{R} \right) =...= \frac{GMm}{2R}}\)
i jest w tym przypadku dodatnia, co nie jest niczym dziwnym, bo zwrot działającej siły jest zgodny ze zwrotem przemieszczenia.

oskar11 pisze:Energia potencjalna jest zerowa dla nieskończonego r?

W tym zadaniu "znaleźliśmy" wzór pracę wychodząc od energii potencjalnej.
Jednak wyprowadzając te wzory robi się to odwrotnie.
Załóżmy, że przesuwamy ciało w polu grawitacyjnym od punktu \(\displaystyle{ A}\) o \(\displaystyle{ r_1}\) od \(\displaystyle{ M}\) do punktu B odległego o \(\displaystyle{ r_2}\) od \(\displaystyle{ M}\) ruchem jednostajnym.
Praca siły, którą działamy wyraża się wzorem:
\(\displaystyle{ W= \int_{r_1}^{r_2} F(r)\mbox{d}r}\),
z którego otrzymujemy (pomijam te przekształcenia, ze względu na wiek autora pytania ) :
\(\displaystyle{ W=-GMm \left( \frac{1}{r_2}- \frac{1}{r_1} \right)= -\frac{GMm}{r_2}-\left(- \frac{GMm}{r_1} \right)}\)
Przesuwając ciało założyliśmy, że będziemy to robić ruchem jednostajnym, więc jego energia kinetyczna się nie zmienia, a zatem wykonana praca jest równoważna zmianie energii potencjalnej.
A więc z faktu, że \(\displaystyle{ W= E_{p2}-E_{p1}}\) i z powyższego wzoru na pracę wynika, że:
\(\displaystyle{ E_p=- \frac{GMm}{r}}\)
Więc dla \(\displaystyle{ r \rightarrow \infty}\) mamy:
\(\displaystyle{ E_p= \lim_{r \to \infty} \left( -\frac{GMm}{r} \right) =0}\)
Tak więc poziom zerowy jest w nieskończoności.

oskar11 · Post autor: **oskar11** » 1 sie 2011, o 18:04

Zatem jeżeli wyjdzie wynik z minusem to po prostu została obliczona praca siły grawitacji, a nie praca, żeby wynieść ciało na jakąś wysokość?

Innymi słowy dla każdego ciała, które oddala się o r mniejsze od nieskończoności od Ziemi wartość pracy siły grawitacji będzie ujemna?

Jakkolwiek dziękuję za odpowiedź i pozdrawiam.

ares41 · Post autor: **ares41** » 1 sie 2011, o 18:17

oskar11 pisze:Zatem jeżeli wyjdzie wynik z minusem to po prostu została obliczona praca siły grawitacji, a nie praca, żeby wynieść ciało na jakąś wysokość?

Tak, bo zwrot siły wykonującej pracę (siły grawitacji) jest przeciwny do zwrotu wektora przemieszczenia.

oskar11 pisze:Innymi słowy dla każdego ciała, które oddala się o r mniejsze od nieskończoności od Ziemi wartość pracy siły grawitacji będzie ujemna?

Tak, i to nie tylko dla oddalania się od powierzchni Ziemi, ale ogólnie dla oddalania się od każdego źródła siły grawitacji.
Wykres zależności \(\displaystyle{ W(r)}\) będzie hiperbolą. Będzie wyglądał mniej więcej tak jak prawa strona tego wykresu: