Całka wymierna

[szymon1234513]

Witam mam problem z taką całką:

\(\displaystyle{ \int \frac{x-2}{ x^{2}+x-2 } \mbox{d}x}\)

Proszę o pomoc gdyż mam wynik jaki powinien wyjść, a mi nie chce w żaden sposób taki wyjść jak powinien, nie wiem co źle robię...

Najpierw liczę deltę z równania w mianowniku. Wychodzi mi \(\displaystyle{ -2}\) i \(\displaystyle{ 1}\).
Potem rozkładam to równanie na sumę ułamków prostych i współczynnik \(\displaystyle{ A=- \frac{1}{3}}\) i \(\displaystyle{ B= \frac{1}{3}}\)

Wynik to u mnie: \(\displaystyle{ -\frac{1}{3} \ln|x+2|+ \frac{1}{3}|x-1|+C}\)
A wynik w odpowiedziach: \(\displaystyle{ \frac{4}{3}\ln|x+2| - \frac{1}{3} \ln|x-1|+C}\)

Proszę o pomoc...

[cosinus90]

Przedstaw, jak dokładnie obliczasz te współczynniki. Tylko tam może tkwić błąd (zakładając, że odpowiedzi są poprawne).

[szymon1234513]

\(\displaystyle{ A(x-1)+B(x+2)=1 \\ Ax-A+Bx+B2=1}\)

\(\displaystyle{ A+B=0}\) czyli \(\displaystyle{ A=-B}\)
\(\displaystyle{ -A+2B=1}\)

\(\displaystyle{ B+2B=1 \\
3B=1 \\
B= \frac{1}{3}}\)
więc jeżeli \(\displaystyle{ A=-B}\) to \(\displaystyle{ A= -\frac{1}{3}}\)

[Qń]

\(\displaystyle{ A(x-1)+B(x+2)=1}\)

Dlaczego \(\displaystyle{ =1}\)?

Q.

[Funktor]

Ja bym zrobił to inaczej, rozbij to na sumę dwóch całek, w wyrażeniu gdzie masz w liczniku \(\displaystyle{ x}\), dodaj i odejmij 1 i znowu rozbij na sumę dwóch całek. A to co masz scałkujesz już łatwo do logarytmu i arkus tangensa

[Qń]

A to co masz scałkujesz już łatwo do logarytmu i arkus tangensa

Jesteś pewien?

Q.

[Funktor]

Cholera, źle całkę do zeszytu przepisałem : /-- 31 lip 2011, o 18:30 --No to arkus tangensa nie będzie, ale sposób pozostaje bez zmian..

[szymon1234513]

Powinno być:

\(\displaystyle{ x-2=A(x-1)+B(x+2)}\)?

[Qń]

sposób pozostaje bez zmian..

Tylko po co tak długo? Skoro i tak trzeba rozłożyć na ułamki proste, to nie ma sensu na początku wykonywać dodatkowego kroku z rozbijaniem na dwie całki (co zresztą prowadzi do skomplikowania postaci wyniku).

Szymon - tak.

Q.

[Funktor]

Qń,

To co potem się uzyskuje można prościej rozłożyć na ułamki proste, , nawet w pamięci, a wynik nie jest bardziej skomplikowany tylko prostszy ;]

[szymon1234513]

Dzięki panowie... ;]

[cosinus90]

Funktor, chodzi o ilość operacji - w Twoim sposobie trzeba rozbić wyrażenie podcałkowe a potem rozłożyć na ułamki proste, a w sposobie, który został tutaj zastosowany, trzeba rozłożyć na ułamki proste.
P.S. Spójrz na mój podpis

[Funktor]

cosinus90, Zobacz mój drugi podpis :> Chodzi mi o ideę, czasami takie 2 dodatkowe kroki prowadzą do prostego rozkładu na ułamki proste, zamiast babrania się z długich mnożeniach które prowadzą potem do układu równań 8 na 8 .