Całka wymierna
-
- Użytkownik
- Posty: 85
- Rejestracja: 20 lis 2009, o 13:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 12 razy
Całka wymierna
Witam mam problem z taką całką:
\(\displaystyle{ \int \frac{x-2}{ x^{2}+x-2 } \mbox{d}x}\)
Proszę o pomoc gdyż mam wynik jaki powinien wyjść, a mi nie chce w żaden sposób taki wyjść jak powinien, nie wiem co źle robię...
Najpierw liczę deltę z równania w mianowniku. Wychodzi mi \(\displaystyle{ -2}\) i \(\displaystyle{ 1}\).
Potem rozkładam to równanie na sumę ułamków prostych i współczynnik \(\displaystyle{ A=- \frac{1}{3}}\) i \(\displaystyle{ B= \frac{1}{3}}\)
Wynik to u mnie: \(\displaystyle{ -\frac{1}{3} \ln|x+2|+ \frac{1}{3}|x-1|+C}\)
A wynik w odpowiedziach: \(\displaystyle{ \frac{4}{3}\ln|x+2| - \frac{1}{3} \ln|x-1|+C}\)
Proszę o pomoc...
\(\displaystyle{ \int \frac{x-2}{ x^{2}+x-2 } \mbox{d}x}\)
Proszę o pomoc gdyż mam wynik jaki powinien wyjść, a mi nie chce w żaden sposób taki wyjść jak powinien, nie wiem co źle robię...
Najpierw liczę deltę z równania w mianowniku. Wychodzi mi \(\displaystyle{ -2}\) i \(\displaystyle{ 1}\).
Potem rozkładam to równanie na sumę ułamków prostych i współczynnik \(\displaystyle{ A=- \frac{1}{3}}\) i \(\displaystyle{ B= \frac{1}{3}}\)
Wynik to u mnie: \(\displaystyle{ -\frac{1}{3} \ln|x+2|+ \frac{1}{3}|x-1|+C}\)
A wynik w odpowiedziach: \(\displaystyle{ \frac{4}{3}\ln|x+2| - \frac{1}{3} \ln|x-1|+C}\)
Proszę o pomoc...
Ostatnio zmieniony 31 lip 2011, o 23:28 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Logarytm naturalny zapisuj jako \ln.
Powód: Poprawa wiadomości. Logarytm naturalny zapisuj jako \ln.
-
- Użytkownik
- Posty: 85
- Rejestracja: 20 lis 2009, o 13:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 12 razy
Całka wymierna
\(\displaystyle{ A(x-1)+B(x+2)=1 \\ Ax-A+Bx+B2=1}\)
\(\displaystyle{ A+B=0}\) czyli \(\displaystyle{ A=-B}\)
\(\displaystyle{ -A+2B=1}\)
\(\displaystyle{ B+2B=1 \\
3B=1 \\
B= \frac{1}{3}}\)
więc jeżeli \(\displaystyle{ A=-B}\) to \(\displaystyle{ A= -\frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ A+B=0}\) czyli \(\displaystyle{ A=-B}\)
\(\displaystyle{ -A+2B=1}\)
\(\displaystyle{ B+2B=1 \\
3B=1 \\
B= \frac{1}{3}}\)
więc jeżeli \(\displaystyle{ A=-B}\) to \(\displaystyle{ A= -\frac{1}{3}}\)
Ostatnio zmieniony 31 lip 2011, o 23:29 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Funktor
- Użytkownik
- Posty: 482
- Rejestracja: 21 gru 2009, o 15:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 63 razy
Całka wymierna
Ja bym zrobił to inaczej, rozbij to na sumę dwóch całek, w wyrażeniu gdzie masz w liczniku \(\displaystyle{ x}\), dodaj i odejmij 1 i znowu rozbij na sumę dwóch całek. A to co masz scałkujesz już łatwo do logarytmu i arkus tangensa
-
- Użytkownik
- Posty: 85
- Rejestracja: 20 lis 2009, o 13:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 12 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Całka wymierna
Tylko po co tak długo? Skoro i tak trzeba rozłożyć na ułamki proste, to nie ma sensu na początku wykonywać dodatkowego kroku z rozbijaniem na dwie całki (co zresztą prowadzi do skomplikowania postaci wyniku).Funktor pisze:sposób pozostaje bez zmian..
Szymon - tak.
Q.
- Funktor
- Użytkownik
- Posty: 482
- Rejestracja: 21 gru 2009, o 15:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 63 razy
Całka wymierna
Qń,
To co potem się uzyskuje można prościej rozłożyć na ułamki proste, , nawet w pamięci, a wynik nie jest bardziej skomplikowany tylko prostszy ;]
To co potem się uzyskuje można prościej rozłożyć na ułamki proste, , nawet w pamięci, a wynik nie jest bardziej skomplikowany tylko prostszy ;]
-
- Użytkownik
- Posty: 85
- Rejestracja: 20 lis 2009, o 13:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 12 razy
- cosinus90
- Użytkownik
- Posty: 5030
- Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 777 razy
Całka wymierna
Funktor, chodzi o ilość operacji - w Twoim sposobie trzeba rozbić wyrażenie podcałkowe a potem rozłożyć na ułamki proste, a w sposobie, który został tutaj zastosowany, trzeba rozłożyć na ułamki proste.
P.S. Spójrz na mój podpis
P.S. Spójrz na mój podpis
- Funktor
- Użytkownik
- Posty: 482
- Rejestracja: 21 gru 2009, o 15:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 63 razy
Całka wymierna
cosinus90, Zobacz mój drugi podpis :> Chodzi mi o ideę, czasami takie 2 dodatkowe kroki prowadzą do prostego rozkładu na ułamki proste, zamiast babrania się z długich mnożeniach które prowadzą potem do układu równań 8 na 8 .