granica funkcji dwóch zmiennych

[rodzyn7773]

Zadanie 1.18 z Krysickiego II tom. Sprawdź czy istnieje a jeśli tak to ile wynosi granica funkcji:
\(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{x^3+y}{2x^2+y^4}}\)
w punkcie (0,0).
Doszedłem nie daleko z tym przykładem:
\(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{x^3+y}{2x^2+y^4}= \frac{x^3}{2x^2+y^4} + \frac{y}{2x^2+y^4}}\)
W tym momencie korzystam z poprzedniego przykładu bo granica pierwszego czynnika w sumie wynosi 0 w punkcie (0,0). Pytanie jak policzyć granicę drugiego czynnika.
Pewnie będę poszerzał ten post o kolejne granice funkcji dwóch zmiennych, których nie będę umiał rozwiązać.

To od razu dam drugi przykład, taka sama treść:
\(\displaystyle{ g(x,y)= \frac{y^3}{x^4+\sin^2y}}\) przy \(\displaystyle{ (x,y) \rightarrow (0,0)}\)

[Kamil_B]

Poszukaj odpowiednich podciągów.

[rodzyn7773]

W zasadzie szukam ich od pewnego czasu i nie mogę wpaść na żaden odpowiedni. Może jakaś podpowiedź odnośnie postaci tych podciągów.

[Kamil_B]

Np. \(\displaystyle{ x_n=0}\) natomiast \(\displaystyle{ y_n}\) jakiś prosty, byle zbieżny do zera

[rodzyn7773]

W odpowiedzi mam że nie ma granicy a gdy wstawię \(\displaystyle{ x_n=0 \ , \ y_n= \frac{a}{n}}\) to mam
\(\displaystyle{ f(x_n,y_n)= \frac{1}{y_n^3} = \frac{n^3}{a^3} \rightarrow \infty}\)
I teraz kwestia czy wtedy mówimy zbieżny do nieskończoności czy rozbieżny. Bo dla mnie jeśli nie ma granicy to bardziej przemawia że dla różnej pary podciągów otrzymam różną granicę. Wiesz może jak to odpowiednio zinterpretować?

[Kamil_B]

Mówienie o zbieżności do nieskończoności czy też rozbieżności to raczej kwestia umowy.
Tutaj jednak granicy nie ma, a by to zauważyć, to zamień teraz wartosciami \(\displaystyle{ x_n}\) oraz \(\displaystyle{ y_n}\), co w połączniu z tym co już masz da to o co chodzi

[rodzyn7773]

Aha teraz widać wszystko. Dzięki za pomoc.

[Dasio11]

Dla \(\displaystyle{ \left(x_n, y_n \right) = \left( \frac{1}{n}, \frac{1}{n^2} \right)}\) masz \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} f \left(x_n, y_n \right) = \frac{1}{2}}\)

Dla \(\displaystyle{ \left(x_n, y_n \right) = \left( \frac{1}{n}, 0 \right)}\) masz \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} f \left(x_n, y_n \right) = 0}\)

Ogólnie, jeśli masz przykład typu

\(\displaystyle{ \lim_{(x, y) \to (0, 0)} F(x, y) = \lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^a + x^by^c + y^d}{x^e + x^fy^g + y^h}}\)

to spróbuj podstawić \(\displaystyle{ y=x^p.}\) Wtedy rząd licznika to \(\displaystyle{ R_l(p)=\min \{ a, b+cp, dp \}}\) a rząd mianownika - \(\displaystyle{ R_m(p)= \min \{ e, f+gp, hp \}.}\)

Jeśli da się znaleźć takie \(\displaystyle{ p_1,}\) że \(\displaystyle{ R_l \left( p_1 \right) < R_m \left( p_1 \right),}\) to oczywiście dla \(\displaystyle{ \left(x_n, y_n \right) = \left( \frac{1}{n}, \frac{1}{n^{p_1}} \right)}\) będzie

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left| F \left(x_n, y_n \right) \right| = \infty}\)

Jeśli \(\displaystyle{ R_l \left( p_1 \right) = R_m \left( p_1 \right),}\) to \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} F \left(x_n, y_n \right) = g \in (0, \infty)}\)

Jeśli \(\displaystyle{ R_l \left( p_1 \right) > R_m \left( p_1 \right),}\) to \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} F \left(x_n, y_n \right) = 0}\)