Wartość wyrażenia

[dawid3690]

Oblicz wartość wyrażenia:
\(\displaystyle{ (1 ^{2} + 2 ^{2} +...+2008 ^{2} + 2009 ^{2}) - (1 \cdot 3 + 2 \cdot 4+...+2007 \cdot 2009 + 2008 \cdot 2010)}\).

[Vax]

Hint's:

\(\displaystyle{ 1^2+2^2+..+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\)

\(\displaystyle{ 1\cdot 3+2\cdot 4+..+n(n+2) = \frac{n(n+1)(2n+7)}{6}}\)

[kamil13151]

Jak się wzorów nie pamięta to można coś takiego zauważyć:

\(\displaystyle{ (1 ^{2} + 2 ^{2} +...+2008 ^{2} + 2009 ^{2}) - (1 \cdot 3 + 2 \cdot 4+...+2007 \cdot 2009 + 2008 \cdot 2010)=(1 ^{2} + 2 ^{2} +...+2008 ^{2} + 2009 ^{2}) - (2^2-1 + 3^2-1+...+2008^2-1 +2009^2-1)}\)

Vax tak myślałem by jakiś tu wzór wykorzystać, lecz nie mogłem wpaść jaki, jak do tych dojść co podałeś?

[Marcinek665]

Wartość sumy \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^2}\) znamy i wynosi ona \(\displaystyle{ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\).

Wyprowadzimy sobie teraz postać zwartą sumy \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k(k+2)}\).

Mamy: \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k(k+2) = \sum_{k=1}^{n}k^2 + 2k = \sum_{k=1}^{n}k^2 + 2 \sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + n(n+1) = \frac{n(n+1)(2n+7)}{6}}\).

Wobec tego nasze wyrażenie wynosi:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{2009}k^2 - \sum_{k=1}^{2008}k(k+2) = \frac{2009(2010)(4019)}{6} - \frac{2008(2009)(4017)}{6}...}\)

[Vax]

Wartość sumy \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^2}\) znamy i wynosi ona \(\displaystyle{ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\).

Kto zna, ten zna! Żeby ją wyprowadzić można się posłużyć metodą zaburzania:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k^3 + (n+1)^3 = \sum_{k=1}^{n+1} k^3 = 1 + \sum_{k=1}^{n} (k+1)^3 = 1 + \sum_{k=1}^{n} k^3 + 3\sum_{k=1}^{n} k^2 + 3\sum_{k=1}^{n} k + n}\)

I teraz skraca nam się \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k^3}\) i mamy:

\(\displaystyle{ (n+1)^3-1-3\sum_{k=1}^{n} k - n = 3\sum_{k=1}^{n} k^2}\)

\(\displaystyle{ n^3+3n^2+2n - \frac{3n(n+1)}{2} = 3\sum_{k=1}^{n} k^2}\)

\(\displaystyle{ \frac{2n^3+6n^2+4n-3n^2-3n}{2} = 3\sum_{k=1}^{n} k^2}\)

\(\displaystyle{ \frac{2n^3+3n^2+n}{6} = \sum_{k=1}^{n} k^2}\)

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\)

[Marcinek665]

W sumie nie trzeba podstawiać wartości tylko do samego końca liczyć na literkach i w ogólności dostajemy:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^2 - \sum_{k=1}^{n-1}k(k+2) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{(n-1)n(2n+5)}{6} = n}\)

Vax, już się tak nie mądruj xD

[kamil13151]

Dzięki Vax, będę musiał poczytać o tej metodzie, bo bez tego raczej nie zrozumiem

[Marcinek665]

Dzięki Vax, będę musiał poczytać o tej metodzie, bo bez tego raczej nie zrozumiem

258562.htm

Heja

[kamil13151]

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k^3 + (n+1)^3 = \sum_{k=1}^{n+1} k^3 = 1 + \sum_{k=1}^{n} (k+1)^3 = 1 + \sum_{k=1}^{n} k^3 + 3\sum_{k=1}^{n} k^2 + 3\sum_{k=1}^{n} k + n}\)

Po pierwszym znaku "równa się" chyba zapomniałeś o jedynce?

Marcinek665, dzięki za linka, już rozumiem, chyba

[Vax]

Po pierwszym znaku "równa się" chyba zapomniałeś o jedynce?

Marcinek665, dzięki za linka, już rozumiem, chyba

Jest dobrze:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k^3 = 1^3+2^3+...+n^3}\)

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n+1} k^3 = 1^3+2^3+...+n^3+(n+1)^3}\)

[kamil13151]

Racja, zrobiłeś to nieco inaczej niż w poradniku

Nie macie jakichś przykładów do zrobienia?

[Marcinek665]

Racja, zrobiłeś to nieco inaczej niż w poradniku

Nie macie jakiś przykładów do zrobienia?

Zad1. Wyznacz \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^3}\)
Zad2. Wyznacz \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^4}\)
Zad3. Wyznacz \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^5}\)
Zad4. Wyznacz \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^6}\)
Zad5. Wyznacz \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^7}\)

Pozdrawiam xD

[kamil13151]

Hehe, te akurat wiem jak zrobić, może je pominę, nie chce mi się podnosić do takich potęg. Masz może jakieś inne?

[Vax]

Marcinek123, nie pij więcej, proszę Co do pytania to może coś takiego:

\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n} i2^i}\)

edit// A nie, to było w linku Marcina, zaraz poszukam czegoś innego

Ok, no to trzymaj taką sumę:

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \frac{2i}{3^i}}\)

[Marcinek665]

Hehe, te akurat wiem jak zrobić, może je pominę, nie chce mi się podnosić do takich potęg. Masz może jakieś inne?

Obczaj to:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2^k}}\)