Wartość wyrażenia
-
- Użytkownik
- Posty: 65
- Rejestracja: 30 lip 2011, o 11:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gorlice
- Podziękował: 14 razy
Wartość wyrażenia
Oblicz wartość wyrażenia:
\(\displaystyle{ (1 ^{2} + 2 ^{2} +...+2008 ^{2} + 2009 ^{2}) - (1 \cdot 3 + 2 \cdot 4+...+2007 \cdot 2009 + 2008 \cdot 2010)}\).
\(\displaystyle{ (1 ^{2} + 2 ^{2} +...+2008 ^{2} + 2009 ^{2}) - (1 \cdot 3 + 2 \cdot 4+...+2007 \cdot 2009 + 2008 \cdot 2010)}\).
Ostatnio zmieniony 30 lip 2011, o 13:41 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Wartość wyrażenia
Hint's:
\(\displaystyle{ 1^2+2^2+..+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\)
\(\displaystyle{ 1\cdot 3+2\cdot 4+..+n(n+2) = \frac{n(n+1)(2n+7)}{6}}\)
\(\displaystyle{ 1^2+2^2+..+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\)
\(\displaystyle{ 1\cdot 3+2\cdot 4+..+n(n+2) = \frac{n(n+1)(2n+7)}{6}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
Wartość wyrażenia
Jak się wzorów nie pamięta to można coś takiego zauważyć:
\(\displaystyle{ (1 ^{2} + 2 ^{2} +...+2008 ^{2} + 2009 ^{2}) - (1 \cdot 3 + 2 \cdot 4+...+2007 \cdot 2009 + 2008 \cdot 2010)=(1 ^{2} + 2 ^{2} +...+2008 ^{2} + 2009 ^{2}) - (2^2-1 + 3^2-1+...+2008^2-1 +2009^2-1)}\)
Vax tak myślałem by jakiś tu wzór wykorzystać, lecz nie mogłem wpaść jaki, jak do tych dojść co podałeś?
\(\displaystyle{ (1 ^{2} + 2 ^{2} +...+2008 ^{2} + 2009 ^{2}) - (1 \cdot 3 + 2 \cdot 4+...+2007 \cdot 2009 + 2008 \cdot 2010)=(1 ^{2} + 2 ^{2} +...+2008 ^{2} + 2009 ^{2}) - (2^2-1 + 3^2-1+...+2008^2-1 +2009^2-1)}\)
Vax tak myślałem by jakiś tu wzór wykorzystać, lecz nie mogłem wpaść jaki, jak do tych dojść co podałeś?
-
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
Wartość wyrażenia
Wartość sumy \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^2}\) znamy i wynosi ona \(\displaystyle{ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\).
Wyprowadzimy sobie teraz postać zwartą sumy \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k(k+2)}\).
Mamy: \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k(k+2) = \sum_{k=1}^{n}k^2 + 2k = \sum_{k=1}^{n}k^2 + 2 \sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + n(n+1) = \frac{n(n+1)(2n+7)}{6}}\).
Wobec tego nasze wyrażenie wynosi:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{2009}k^2 - \sum_{k=1}^{2008}k(k+2) = \frac{2009(2010)(4019)}{6} - \frac{2008(2009)(4017)}{6}...}\)
Wyprowadzimy sobie teraz postać zwartą sumy \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k(k+2)}\).
Mamy: \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k(k+2) = \sum_{k=1}^{n}k^2 + 2k = \sum_{k=1}^{n}k^2 + 2 \sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + n(n+1) = \frac{n(n+1)(2n+7)}{6}}\).
Wobec tego nasze wyrażenie wynosi:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{2009}k^2 - \sum_{k=1}^{2008}k(k+2) = \frac{2009(2010)(4019)}{6} - \frac{2008(2009)(4017)}{6}...}\)
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Wartość wyrażenia
Kto zna, ten zna! Żeby ją wyprowadzić można się posłużyć metodą zaburzania:Marcinek665 pisze:Wartość sumy \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^2}\) znamy i wynosi ona \(\displaystyle{ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\).
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k^3 + (n+1)^3 = \sum_{k=1}^{n+1} k^3 = 1 + \sum_{k=1}^{n} (k+1)^3 = 1 + \sum_{k=1}^{n} k^3 + 3\sum_{k=1}^{n} k^2 + 3\sum_{k=1}^{n} k + n}\)
I teraz skraca nam się \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k^3}\) i mamy:
\(\displaystyle{ (n+1)^3-1-3\sum_{k=1}^{n} k - n = 3\sum_{k=1}^{n} k^2}\)
\(\displaystyle{ n^3+3n^2+2n - \frac{3n(n+1)}{2} = 3\sum_{k=1}^{n} k^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{2n^3+6n^2+4n-3n^2-3n}{2} = 3\sum_{k=1}^{n} k^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{2n^3+3n^2+n}{6} = \sum_{k=1}^{n} k^2}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\)
Ostatnio zmieniony 30 lip 2011, o 14:01 przez Vax, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
Wartość wyrażenia
W sumie nie trzeba podstawiać wartości tylko do samego końca liczyć na literkach i w ogólności dostajemy:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^2 - \sum_{k=1}^{n-1}k(k+2) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{(n-1)n(2n+5)}{6} = n}\)
Vax, już się tak nie mądruj xD
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^2 - \sum_{k=1}^{n-1}k(k+2) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{(n-1)n(2n+5)}{6} = n}\)
Vax, już się tak nie mądruj xD
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
Wartość wyrażenia
258562.htmkamil13151 pisze:Dzięki Vax, będę musiał poczytać o tej metodzie, bo bez tego raczej nie zrozumiem
Heja
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
Wartość wyrażenia
Po pierwszym znaku "równa się" chyba zapomniałeś o jedynce?Vax pisze: \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k^3 + (n+1)^3 = \sum_{k=1}^{n+1} k^3 = 1 + \sum_{k=1}^{n} (k+1)^3 = 1 + \sum_{k=1}^{n} k^3 + 3\sum_{k=1}^{n} k^2 + 3\sum_{k=1}^{n} k + n}\)
Marcinek665, dzięki za linka, już rozumiem, chyba
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Wartość wyrażenia
Jest dobrze:kamil13151 pisze: Po pierwszym znaku "równa się" chyba zapomniałeś o jedynce?
Marcinek665, dzięki za linka, już rozumiem, chyba
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k^3 = 1^3+2^3+...+n^3}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n+1} k^3 = 1^3+2^3+...+n^3+(n+1)^3}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
Wartość wyrażenia
Racja, zrobiłeś to nieco inaczej niż w poradniku
Nie macie jakichś przykładów do zrobienia?
Nie macie jakichś przykładów do zrobienia?
Ostatnio zmieniony 31 lip 2011, o 23:35 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
Wartość wyrażenia
Zad1. Wyznacz \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^3}\)kamil13151 pisze:Racja, zrobiłeś to nieco inaczej niż w poradniku
Nie macie jakiś przykładów do zrobienia?
Zad2. Wyznacz \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^4}\)
Zad3. Wyznacz \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^5}\)
Zad4. Wyznacz \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^6}\)
Zad5. Wyznacz \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^7}\)
Pozdrawiam xD
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
Wartość wyrażenia
Hehe, te akurat wiem jak zrobić, może je pominę, nie chce mi się podnosić do takich potęg. Masz może jakieś inne?
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Wartość wyrażenia
Marcinek123, nie pij więcej, proszę Co do pytania to może coś takiego:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n} i2^i}\)
edit// A nie, to było w linku Marcina, zaraz poszukam czegoś innego
Ok, no to trzymaj taką sumę:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \frac{2i}{3^i}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n} i2^i}\)
edit// A nie, to było w linku Marcina, zaraz poszukam czegoś innego
Ok, no to trzymaj taką sumę:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \frac{2i}{3^i}}\)
Ostatnio zmieniony 30 lip 2011, o 17:23 przez Vax, łącznie zmieniany 2 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
Wartość wyrażenia
Obczaj to:kamil13151 pisze:Hehe, te akurat wiem jak zrobić, może je pominę, nie chce mi się podnosić do takich potęg. Masz może jakieś inne?
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2^k}}\)