Ogrzewanie azotu

[ares41]

Pewna ilość azotu (\(\displaystyle{ \kappa= 1,4}\)) została ogrzana przy stałym ciśnieniu, tak że jego objętość wzrosła dwukrotnie. Ile razy wzrosłoby ciśnienie, gdyby ten sam gaz ( o tych samych parametrach początkowych ) został ogrzany w warunkach stałej objętości taką samą ilością ciepła jak poprzednio?

Moje rozwiązanie:

Ukryta treść:    

Ciepło pobrane w pierwszym przypadku to:
\(\displaystyle{ Q_1=nc_p\Delta T}\),
natomiast w drugim:
\(\displaystyle{ Q_2=nc_v\Delta T_1}\)
Z treści zadania mamy:
\(\displaystyle{ Q_1=Q_2}\)
a więc:
\(\displaystyle{ nc_p\Delta T=nc_v\Delta T_1}\)
a z tego:
\(\displaystyle{ \frac{c_p}{c_v} = \frac{\Delta T_1}{\Delta T}}\)
Z definicji współczynnika Poissona:
\(\displaystyle{ \kappa =\frac{c_p}{c_v}}\),
więc :
\(\displaystyle{ \frac{\Delta T_1}{\Delta T}=\kappa}\)

Przyrost objętości to:
\(\displaystyle{ \Delta V= 2V_0-V_0=V_0}\)
Równanie stanu dla pierwszego przypadku przyjmuje więc postać:
\(\displaystyle{ pV_0=nR\Delta T}\),
a dla drugiego:
\(\displaystyle{ \Delta p V_0=nR\Delta T_1}\)

Dzieląc te równania stronami otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{\Delta p}{p} =\frac{\Delta T_1}{\Delta T}}\),

więc zgodnie z tym co ustaliliśmy powyżej:

\(\displaystyle{ \frac{\Delta p}{p} =\frac{\Delta T_1}{\Delta T}=\kappa}\)

A z tego mamy:

\(\displaystyle{ \Delta p=\kappa \cdot p}\)
Ciśnienie wzrośnie więc \(\displaystyle{ \frac{p+\Delta p}{p}= \kappa+1}\) razy.