grupy: zbiory przekształceń płaszczyzny
grupy: zbiory przekształceń płaszczyzny
Jak pokazać, że podane zbiory przekształceń płaszczyzny: zbiór izometrii i zbiór translacji (przesunięć) ze składaniem przekształceń jako działaniem są grupami, a zbiór symetrii osiowych (odbić) i zbiór symetrii środkowych nie są grupami?
grupy: zbiory przekształceń płaszczyzny
Próbowałam i wymyśliłam tylko dla translacji:
Jest łączne, el. neutralny to wektor zerowy, el odwrotny do danego to wektor do niego przeciwny.
Dobrze myślę?
Jest łączne, el. neutralny to wektor zerowy, el odwrotny do danego to wektor do niego przeciwny.
Dobrze myślę?
grupy: zbiory przekształceń płaszczyzny
Dobrze. Co to jest zatem izometria? Jaki z tym masz problem?
-
- Użytkownik
- Posty: 1358
- Rejestracja: 4 lip 2009, o 13:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 222 razy
grupy: zbiory przekształceń płaszczyzny
Działanie składania dowolnych funkcji jest łączne, więc tego nie musisz nigdzie sprawdzać (jeżeli umiesz to pokazać w dowolnym przypadku).
Dobrze pokazałaś, że zbiór translacji ze składaniem tworzy grupę. I faktycznie jeżeli \(\displaystyle{ t_v}\) to przesunięcie o wektor \(\displaystyle{ v}\), to \(\displaystyle{ t_{-v}}\) jest elementem odwrotnym do \(\displaystyle{ t_v}\) (napisałem to zdanie, bo swoje uzasadnienie trochę niejasno napisałaś).
Pokazanie, że dowolna izometria płaszczyzny ma element odwrotny nie jest takie proste. Znasz twierdzenie, że każda nietrywialna izometria płaszczyzny jest złożeniem co najwyżej trzech odbić względem prostych (refleksji, symetrii liniowych/osiowych)? Przez izometrię trywialną rozumiem identyczność.
No i właśnie, zbiór symetrii osiowych nie ma elementu neutralnego składania (wskazówka dla Ciebie). To samo tyczy się symetrii środkowych.
Dobrze pokazałaś, że zbiór translacji ze składaniem tworzy grupę. I faktycznie jeżeli \(\displaystyle{ t_v}\) to przesunięcie o wektor \(\displaystyle{ v}\), to \(\displaystyle{ t_{-v}}\) jest elementem odwrotnym do \(\displaystyle{ t_v}\) (napisałem to zdanie, bo swoje uzasadnienie trochę niejasno napisałaś).
Pokazanie, że dowolna izometria płaszczyzny ma element odwrotny nie jest takie proste. Znasz twierdzenie, że każda nietrywialna izometria płaszczyzny jest złożeniem co najwyżej trzech odbić względem prostych (refleksji, symetrii liniowych/osiowych)? Przez izometrię trywialną rozumiem identyczność.
No i właśnie, zbiór symetrii osiowych nie ma elementu neutralnego składania (wskazówka dla Ciebie). To samo tyczy się symetrii środkowych.
-
- Użytkownik
- Posty: 1358
- Rejestracja: 4 lip 2009, o 13:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 222 razy
grupy: zbiory przekształceń płaszczyzny
Jaka izometria? To jest komentarz do którego mojego zdania?BlueSky pisze:Niestety ta izometria niezbyt do mnie przemawia.
grupy: zbiory przekształceń płaszczyzny
Chodzi mi o to pokazanie, że zbiór izometrii jest grupą, tzn. jak pokazać, że ma el. neutralny i odwrotny.
-
- Użytkownik
- Posty: 1358
- Rejestracja: 4 lip 2009, o 13:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 222 razy
grupy: zbiory przekształceń płaszczyzny
Czy identyczność jest izometrią? Czy zatem może być kandydatem na element neutralny?
Nie wiem, jak bez klasyfikacji izometrii płaszczyzny pokazać, że dowolna izometria płaszczyzny ma izometrię odwrotną. Do tej klasyfikacji potrzebne jest twierdzenie mówiące, że każda nietrywialna izometria płaszczyzny jest złożeniem co najwyżej trzech odbić. Znasz to twierdzenie?
Nie wiem, jak bez klasyfikacji izometrii płaszczyzny pokazać, że dowolna izometria płaszczyzny ma izometrię odwrotną. Do tej klasyfikacji potrzebne jest twierdzenie mówiące, że każda nietrywialna izometria płaszczyzny jest złożeniem co najwyżej trzech odbić. Znasz to twierdzenie?
grupy: zbiory przekształceń płaszczyzny
Myślę, że identyczność jest izometrią.
A z tą symetrią osiową to chodzi o to, że jest inwolucją, czyli jest identyczna z odwzorowaniem do niej odwrotnym?
A z tą symetrią osiową to chodzi o to, że jest inwolucją, czyli jest identyczna z odwzorowaniem do niej odwrotnym?
-
- Użytkownik
- Posty: 1358
- Rejestracja: 4 lip 2009, o 13:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 222 razy
grupy: zbiory przekształceń płaszczyzny
Nie masz zgadywać, masz rozumieć. Znasz definicję izometrii?BlueSky pisze:Myślę, że identyczność jest izometrią.
Tak, o to chodzi. To jaka jest izometria odwrotna do złożenia dwóch lub trzech symetrii osiowych?A z tą symetrią osiową to chodzi o to, że jest inwolucją, czyli jest identyczna z odwzorowaniem do niej odwrotnym?