[Ciągi] Oblicz sumę atrakcyjnego i wyrafinowanego ciągu.

[Marcinek665]

Wyrafinowany i atrakcyjny ciąg definiujemy następująco:

\(\displaystyle{ a_{n} = \sqrt{1 + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2}}}\) dla \(\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_{+}}\).

Oblicz sumę początkowych \(\displaystyle{ n}\) wyrazów tego ciągu.

Ukryta treść:    

Może wydawać się proste, ale wg mnie bardzo przyjemnie się to liczy

[Vax]

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}} = \sqrt{\frac{n^4+2n^3+3n^2+2n+1}{(n^2+n)^2}} = \sqrt{\left(\frac{n^2+n+1}{n^2+n}\right)^2} = \frac{n^2+n+1}{n^2+n} = 1+\frac{1}{n(n+1)}}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}\) skąd nasza suma wynosi:

\(\displaystyle{ S_n = n+1-\frac{1}{n+1}}\)

[Marcinek665]

Wiedziałem, że to zrobisz