[Nierówności] Łatwa nierówność funkcyjna

[Burii]

Znaleźć wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f:R \rightarrow R}\) takie że dla każdego \(\displaystyle{ x \in R}\) mamy:

\(\displaystyle{ f(x^3 + x) \le x \le (f(x))^3 + f(x)}\)

[Damianito]

Ukryta treść:    

Funkcja \(\displaystyle{ T(x)=x^3+x}\) jest ściśle rosnąca i ze względu na granice w nieskończoności oraz ciągłość przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste. Ma ona rosnącą funkcję odwrotną \(\displaystyle{ P(x)}\) i tym samym z równości \(\displaystyle{ f(T(x)) \leq x}\) dla \(\displaystyle{ x=P(t)}\) przy dowolny \(\displaystyle{ t}\) dostajemy \(\displaystyle{ f(t) \leq P(t)}\) i również dla dowolnego \(\displaystyle{ t}\) z nierówności \(\displaystyle{ T(P(t)) \leq T(f(t))}\) dostajemy \(\displaystyle{ P(t)\leq f(t)}\), co daje nam dla każdego \(\displaystyle{ t}\) równość \(\displaystyle{ f(t)=P(t)}\) i łatwo widać, że ta funkcja spełnia warunki zadania (nierówności są równościami) Pozostaje ewentualnie pytanie o mniej uwikłaną postać funkcji \(\displaystyle{ P(x)}\)

[adamm]

Zdecydowanie more lame od Damianita, ale mam nadzieję, że też ok.

Ukryta treść:    

Podstawiając \(\displaystyle{ x:=x^3+x}\) do nierówności \(\displaystyle{ x \le (f(x))^3 + f(x)}\) dostajemy \(\displaystyle{ x^3+x \le \left(f(x^3+x)\right)^3+f(x^3+x)}\) sumując stronami z \(\displaystyle{ f(x^3+x) \le x}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ x^3 \le \left(f(x^3+x)\right)^3 \iff x \le f(x^3+x)}\) co wraz z \(\displaystyle{ f(x^3+x) \le x}\) daje nam równość \(\displaystyle{ f(x^3+x)=x}\), jest to oczywiście funkcja nieparzysta. Podłóżmy \(\displaystyle{ x:=-x}\) w \(\displaystyle{ x \le (f(x))^3 + f(x)}\) dostając \(\displaystyle{ -x \le (f(-x))^3 + f(-x) \iff \left(f(x)\right)^3+f(x)\le x}\) zatem musi zachodzić równość \(\displaystyle{ x=\left(f(x)\right)^3+f(x)}\). Tak więc funkcja odwrotna do \(\displaystyle{ g(x)=x^3+x}\) spełnia warunki zadania.
edit: Vax, łatwo zauważył, że \(\displaystyle{ f(x) = \sqrt[3]{\frac{x+\sqrt{\frac{27x^2+4}{27}}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{x-\sqrt{\frac{27x^2+4}{27}}}{2}}}\)

[Damianito]

Ukryta treść:    

Jeśli korzystasz z tego, że \(\displaystyle{ x^3+x}\) przebiega wszystkie wartości rzeczywiste, to mogłeś już skończyć na

\(\displaystyle{ f(x^3+x)=x}\)

, a jeśli nie, to nie masz nieparzystości funkcji dla wszystkich argumentów.

Swoją drogą ciekawe podejście.