sila zachowawcza wyznaczenie stalych i potencjalu

[Jacek_fizyk]

Witajcie, czy ktos moze mi pomoc z zadaniem :
Sprawdz czy jest mozliwym znalezienie wartosci stalych a i c tak by pole silowe
\(\displaystyle{ \vec{F}=c(x^2+y^2)i+c(axy+y^2)j}\) bylo polem zachowawczym?

wiec zaczynam od znalezienia rotacji tego pola
\(\displaystyle{ \nabla\times \vec{F}=k(cay)-k(2cx)=kc(ay-x)}\)

i z tego jesli wybierzemy c=0 to bedzie polem zachowawczym, natomiast jak wyznaczyc a?
czy ktos moze mi w tym pomoc?

dzieki

[norwimaj]

Jeśli \(\displaystyle{ c=0}\), to niezależnie od \(\displaystyle{ a}\) mamy zerowe pole, więc zachowawcze. Czyli \(\displaystyle{ a}\) jest dowolne.

W zadaniu nie ma polecenia, żeby znaleźć możliwe wartości \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ c}\), więc wystarczy tylko zauważyć, że np. \(\displaystyle{ a=0}\), \(\displaystyle{ c=0}\) pasuje.

[Jacek_fizyk]

aha dzieki;) teraz jeszcze jest jedna czesc, trzeba znalezc potencjal tego pola, czy moglbys na to rzucic okiem?

\(\displaystyle{ \frac{\partial U}{\partial x}=-F_{x}\Rightarrow U(x,y,z)=-\frac{cx^3}{3}-cxy^2+g(y,z)}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial U}{\partial y}=-F_{y}\Rightarrow -2cxy+\frac{\partial g(y,z)}{\partial y}=-caxy-cy^2\Rightarrow g(y,z)=-cy^2-caxy+2cxy+h(z)}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial U}{\partial z}=-F_{z}\Rightarrow 0+\frac{\partial h}{\partial z}=0\Rightarrow h(z)=C}\)

wiec ostatecznie
\(\displaystyle{ U(x,y,z)=-c\Bigl(\frac{1}{3}x^3+xy^2+y^2+axy-2xy\Bigr)+C}\)

[steal]

Tyle tylko, że wydaje mi się, że źle obliczyłeś rotację. Rotacja powinna wynieść:
\(\displaystyle{ rot\vec{F} = 0\cdot\vec{i}+0\cdot\vec{j}+cy(a-2)\cdot\vec{k}}\)
Wtedy przyjmujesz \(\displaystyle{ a=2}\) i \(\displaystyle{ c\in R}\).
Widać, że jest błąd, bo inaczej z tego co obliczyłeś wynika, że siła ma zerowe składowe \(\displaystyle{ \vec{F}=\vec{0}}\), a potencjał jest stały \(\displaystyle{ U=const}\) (zbyt banalne jak na zadanie wymagające wyznaczenia potencjału =P).

[norwimaj]

Faktycznie, rotacja źle policzona. W takim razie można przyjąć \(\displaystyle{ a=2,c\in\mathbb{R}}\) albo \(\displaystyle{ c=0,a\in\mathbb{R}}\). Istotnie dla \(\displaystyle{ c=0}\) pole jest zerowe, ale to nie znaczy że takie rozwiązanie jest złe. To że autor zadania być może coś przeinaczył i zadanie jest banalne, to nie jest zmartwienie rozwiązującego.