Sprawdzenie dziedziny

[ardianmucha]

\(\displaystyle{ \log _{3}(x-1) - \log _{3}(x+2) = 1}\)

Dziedziną jest \(\displaystyle{ x>1}\) ?

[aalmond]

tak

[ardianmucha]

A teraz:

\(\displaystyle{ \log _{3}(x-1) - \log _{3}(x+2) = 1}\)
\(\displaystyle{ \log _{3} \left( \frac{x-1}{x+2} \right) =1}\)

Dlaczego dziedziną jest \(\displaystyle{ (- \infty , -2) \cup (1, \infty )}\)?

[aalmond]

\(\displaystyle{ \frac{x-1}{x+2} > 0}\)

[pyzol]

Dziedzinę wyznaczasz zawsze na początku. Po przekształceniach w równaniach możesz mieć większe pole do działania, ale pilnujesz się dziedziny wyznaczonej na samym początku. Swoją drogą możesz przenieść logarytm na drugą stronę i doprowadzić do postaci:
\(\displaystyle{ \log _{3}(x-1) = \log _{3} 3(x+2)}\)

[ardianmucha]

Czyli rozwiązanie tego równania nie należy do dziedziny, tak?

[pyzol]

tak

[kamil13151]

A teraz:

\(\displaystyle{ log _{3}(x-1) - log _{3}(x+2) = 1}\)
\(\displaystyle{ log _{3}( \frac{x-1}{x+2})=1}\)

Dlaczego dziedziną jest \(\displaystyle{ (- \infty , -2) \cup (1, \infty )}\)?

Coś mi nie pasuje, dlaczego dziedziną ma być: \(\displaystyle{ \frac{x-1}{x+2}>0}\) skoro to już jest przekształcenie początkowego równania, a dziedzina początkowego to:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-1>0 \\ x+2>0 \end{cases} \Rightarrow x>1}\)

Po drugie nie może coś takiego być, bo dla \(\displaystyle{ x=-3 \Rightarrow \log_3 -4}\) nie istnieje.

Edycja/ Chyba, że to dwa inne przykłady podałeś?!