kilka trudniejszych granic

[kkk]

Witam!
Mam problem z obliczeniem kilku granic. Zacznijmy od takiej:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \frac{n^{2} + 2}{2n^{2} + 1} \right)^{n^{2}}}\)

Ukombinowałem się z tym trochę i nie wychodzi.
Dopisałem do nawiasu + 1 - 1. 1 zostawiłem, a -1 dodałem do ułamka. Udało mi się złapać e. Niestety jak policzę granicę wykładnika potęgi wtedy, to wychodzi -nieskończoność, czyli ostatecznie e do minus nieskończoności.
Kombinowałem też, żeby za n^2 podstawić np. t, ale kończy się tym samym.

Jak więc to rozwiązać?

Z góry dzięki za pomoc.

[abc666]

Masz symbol \(\displaystyle{ \left[ \left( \frac{1}{2} \right)^\infty \right] =0}\)

[kkk]

ok, widzę już, ale co dalej?

[wiskitki]

Ale \(\displaystyle{ 1^\infty}\) to symbol nieoznaczony to czemu \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} \right) ^\infty=0}\) ??

[kkk]

chyba chodzi o to ze taki ułamek do czegoś bardzo bardzo dużego dąży do 0. Ale fakt, to chyba nie symbol.

I pytanie co dalej, bo w odpowiedziach mam: \(\displaystyle{ e^ { \frac{3}{2} }}\)

[abc666]

Jest to błąd w książce Krysickiego poruszany ze 100 razy na forum. Jak porządnie to zrobić zobacz tutaj. Przykład 21 Przykłady obliczania granic ciągów

[aalmond]

w odpowiedziach mam: \(\displaystyle{ e^ {3/2}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \frac{n^{2} + 2}{2n^{2} + 1} \right)^{n^{2}}=\lim_{n \to \infty } \left [ \left ( \frac{1}{2} \right ) ^ {n^{2}} \cdot \left( \frac{n^{2} + 2}{n^{2} + \frac{1}{2} } \right)^{n^{2}} \right ]}\)

Granica drugiego czynnika to rzeczywiście \(\displaystyle{ e^ {3/2}}\), ale jest jeszcze pierwszy.

[kkk]

Ok, dzięki za pomoc. Z innymi przykładami sobie już poradziłem - temat do zamknięcia