\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b=8\\ab+c+d=23\\ad+bc=28\\cd=12\end{cases}}\)
gdzie \(\displaystyle{ a,b,c,d \in R}\)
Rozwiąz układ równań
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11263
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3140 razy
- Pomógł: 747 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 5405
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
Rozwiąz układ równań
Układ ten można, że tak powiem rozwiązać na chama metodą podstawiania, jednak jest to nieprzyjemne.
W trakcie ustalania tego, przypomniało mi się, że takie układy już widziałem i znam je dobrze - swego czasu rozwiązałem taki układ z dowolną prawą stroną, gdyż jest to nic innego, a warunek na faktoryzację wielomianu czwartego stopnia na iloczyn dwóch trójmianów.
Mamy:
\(\displaystyle{ W(x) = (x^{2} + ax + c)(x^{2} + bx + d) = x^{4} + (a + b)x^{3} + (ab + c + d)x^{2} + (ad + bc)x + cd}\)
A współczynniki z nawiasów znamy z naszego układu, więc:
\(\displaystyle{ W(x) = x^{4} + 8x^{3} + 23x^{2} + 28x + 12}\)
Nie jest teraz trudno "wystrzelać" pierwiastki tegoż jak kaczki:
\(\displaystyle{ W(x) = (x+1)(x+2)(x+2)(x+3)}\)
Teraz wybierając dwa spośród tych dwumianów otrzymamy różne wyniki na a, b, c, d. "Normalnie" (czyli bez pierwiastka wielokrotnego) otrzymalibyśmy trzy rozwiązania, jednak tutaj właśnie jedno się powtórzy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a = 1+2=3 \\ b = 2+3=5 \\ c = 1 \cdot 2=2 \\ d = 2 \cdot 3=6 \end{cases} \vee \ \begin{cases} a = 1+3=4 \\ b = 2+2=4 \\ c = 1 \cdot 3=3 \\ d = 2 \cdot 2=4 \end{cases}}\)
W trakcie ustalania tego, przypomniało mi się, że takie układy już widziałem i znam je dobrze - swego czasu rozwiązałem taki układ z dowolną prawą stroną, gdyż jest to nic innego, a warunek na faktoryzację wielomianu czwartego stopnia na iloczyn dwóch trójmianów.
Mamy:
\(\displaystyle{ W(x) = (x^{2} + ax + c)(x^{2} + bx + d) = x^{4} + (a + b)x^{3} + (ab + c + d)x^{2} + (ad + bc)x + cd}\)
A współczynniki z nawiasów znamy z naszego układu, więc:
\(\displaystyle{ W(x) = x^{4} + 8x^{3} + 23x^{2} + 28x + 12}\)
Nie jest teraz trudno "wystrzelać" pierwiastki tegoż jak kaczki:
\(\displaystyle{ W(x) = (x+1)(x+2)(x+2)(x+3)}\)
Teraz wybierając dwa spośród tych dwumianów otrzymamy różne wyniki na a, b, c, d. "Normalnie" (czyli bez pierwiastka wielokrotnego) otrzymalibyśmy trzy rozwiązania, jednak tutaj właśnie jedno się powtórzy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a = 1+2=3 \\ b = 2+3=5 \\ c = 1 \cdot 2=2 \\ d = 2 \cdot 3=6 \end{cases} \vee \ \begin{cases} a = 1+3=4 \\ b = 2+2=4 \\ c = 1 \cdot 3=3 \\ d = 2 \cdot 2=4 \end{cases}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 5405
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
Rozwiąz układ równań
Z tego, co pamiętam, to po wstawieniu b z pierwszego, potraktowaniu a jako stałą w następnych dwóch otrzymujemy układ dwóch równań liniowych na c i d - wyznaczamy je (choćby wyznacznikami), a następnie tak uzależnione od a c i d wstawiamy do ostatniego równania, by otrzymać równanie trzeciego stopnia na \(\displaystyle{ a^{2}}\). Tak to było w ogólności - w tym przykładzie być może da się coś "przysprycić", bo ten wielomian ma pierwiastek podwójny.
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6903
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Rozwiąz układ równań
Rogal, jak ci się udało rozwiązać układ (ten bardziej ogólny)
Mnie nie wychodzi tym sposobem co napisałeś
Gdyby zastosować podstawienie to by wyszło
Mnie wyszło coś takiego
\(\displaystyle{ \left( x^2+ax+c\right)\left( x^2+bx+d\right)=x^4+a_{3}x^{3}+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}\\
x^4+bx^3+dx^2+ax^3+abx^2+adx+cx^2+bcx+cd=x^4+a_{3}x^{3}+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}\\
x^4+\left(a+b\right)x^3+\left( c+d+ab\right)x^2+\left( ad+bc\right)x+cd=x^4+a_{3}x^{3}+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}\\
\begin{cases} a+b=a_{3} \\ c+d+ab=a_{2}\\ad+bc=a_{1}\\cd=a_{0} \end{cases} \\
\begin{cases} \left( a+b\right) =a_{3} \\ 4\left( c+d\right) +\left( a+b\right)^2-\left( a-b\right)^2 =4a_{2}\\\left( a+b\right)\left( c+d\right)-\left( a-b\right)\left( c-d\right) =2a_{1}\\\left( c+d\right)^2-\left( c-d\right)^2 =4a_{0} \end{cases} \\
\begin{cases} \left( a+b\right) =a_{3} \\ 4\left( c+d\right) =4a_{2}-a_{3}^2+\left( a-b\right)^2\\a_{3}\left( c+d\right)-\left( a-b\right)\left( c-d\right) =2a_{1}\\\left( c+d\right)^2-\left( c-d\right)^2 =4a_{0} \end{cases} \\
\begin{cases} \left( a+b\right) =a_{3} \\ 4\left( c+d\right) =4a_{2}-a_{3}^2+\left( a-b\right)^2\\\left( a-b\right)\left( c-d\right)=a_{3}\left( c+d\right)-2a_{1} \\\left( c+d\right)^2-\left( c-d\right)^2 =4a_{0} \end{cases} \\
\begin{cases} \left( a+b\right) =a_{3} \\ 4\left( c+d\right) =4a_{2}-a_{3}^2+\left( a-b\right)^2\\\left( a-b\right)\left( c-d\right)= \frac{a_{3}}{4} \left(4a_{2}-a_{3}^2+\left( a-b\right)^2\right)-2a_{1} \\\left( c+d\right)^2-\left( c-d\right)^2 =4a_{0} \end{cases} \\
\frac{1}{16}\left( 4a_{2}-a_{3}^2+\left( a-b\right)^2 \right)^2-\left( \frac{\left( \frac{a_{3}}{4} \left(4a_{2}-a_{3}^2+\left( a-b\right)^2\right)-2a_{1}\right)^2 }{\left( a-b\right)^2 } \right)=4a_{0}}\)
Przeliczylem jeszcze raz i cos tam wyszlo tyle że otrzymujesz równanie szóstego stopnia które można
sprowadzić do równania trzeciego stopnia na jakąś tam niewiadomą do kwadratu
podstawieniem \(\displaystyle{ a= \frac{a_{3}}{2}+u}\) a te podstawienienie nie jest aż tak łatwo zauważyć
Mnie nie wychodzi tym sposobem co napisałeś
Gdyby zastosować podstawienie to by wyszło
Mnie wyszło coś takiego
\(\displaystyle{ \left( x^2+ax+c\right)\left( x^2+bx+d\right)=x^4+a_{3}x^{3}+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}\\
x^4+bx^3+dx^2+ax^3+abx^2+adx+cx^2+bcx+cd=x^4+a_{3}x^{3}+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}\\
x^4+\left(a+b\right)x^3+\left( c+d+ab\right)x^2+\left( ad+bc\right)x+cd=x^4+a_{3}x^{3}+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}\\
\begin{cases} a+b=a_{3} \\ c+d+ab=a_{2}\\ad+bc=a_{1}\\cd=a_{0} \end{cases} \\
\begin{cases} \left( a+b\right) =a_{3} \\ 4\left( c+d\right) +\left( a+b\right)^2-\left( a-b\right)^2 =4a_{2}\\\left( a+b\right)\left( c+d\right)-\left( a-b\right)\left( c-d\right) =2a_{1}\\\left( c+d\right)^2-\left( c-d\right)^2 =4a_{0} \end{cases} \\
\begin{cases} \left( a+b\right) =a_{3} \\ 4\left( c+d\right) =4a_{2}-a_{3}^2+\left( a-b\right)^2\\a_{3}\left( c+d\right)-\left( a-b\right)\left( c-d\right) =2a_{1}\\\left( c+d\right)^2-\left( c-d\right)^2 =4a_{0} \end{cases} \\
\begin{cases} \left( a+b\right) =a_{3} \\ 4\left( c+d\right) =4a_{2}-a_{3}^2+\left( a-b\right)^2\\\left( a-b\right)\left( c-d\right)=a_{3}\left( c+d\right)-2a_{1} \\\left( c+d\right)^2-\left( c-d\right)^2 =4a_{0} \end{cases} \\
\begin{cases} \left( a+b\right) =a_{3} \\ 4\left( c+d\right) =4a_{2}-a_{3}^2+\left( a-b\right)^2\\\left( a-b\right)\left( c-d\right)= \frac{a_{3}}{4} \left(4a_{2}-a_{3}^2+\left( a-b\right)^2\right)-2a_{1} \\\left( c+d\right)^2-\left( c-d\right)^2 =4a_{0} \end{cases} \\
\frac{1}{16}\left( 4a_{2}-a_{3}^2+\left( a-b\right)^2 \right)^2-\left( \frac{\left( \frac{a_{3}}{4} \left(4a_{2}-a_{3}^2+\left( a-b\right)^2\right)-2a_{1}\right)^2 }{\left( a-b\right)^2 } \right)=4a_{0}}\)
Przeliczylem jeszcze raz i cos tam wyszlo tyle że otrzymujesz równanie szóstego stopnia które można
sprowadzić do równania trzeciego stopnia na jakąś tam niewiadomą do kwadratu
podstawieniem \(\displaystyle{ a= \frac{a_{3}}{2}+u}\) a te podstawienienie nie jest aż tak łatwo zauważyć