Rozkład Poissona

[pancerny]

Strzykawki jednorazowe są produkowane w dwóch filiach F1 i F2 tej samej firmy w proporcji 2:3 , jeden transport strzykawek do odbiorcy składa się z 15000 sztuk, z których każda niezaleznie od pozostałych może być niepełnowartościowa z pewnym prawdopodobieństwem. Wiedząc ze udział strzykawek w kazdym transporcie jest proporcjonalny do mocy produkcyjnych zakładów F1 i F2 oraz , ze prawdopodbienstwo braku wynosi odpowiednio p1=0,0002 oraz p2=0,0001 obliczyc prawdopodobienstwo koniecznosci wyplaty odszkodowania przez producenta , jesli wiadomo ze odbiorca domaga sie jej , gdy liczba braku przekracza 2 w jednym transporcie.

[octahedron]

Rozkład Poissona jest dany wzorem:
\(\displaystyle{ P(X=k)=\frac{\lambda^ke^{-k}}{k!}\\
n_1:n_2=2:3 \Rightarrow n_1=6000,\ n_2=9000\\
\lambda_1=n_1p_1=1,2\\
\lambda_2=n_2p_2=0,9\\
P(X>2)=1-P(X\le 2)\\
P(X\le 2)=P(X_1=0)[P(X_2=0)+P(X_2=1)+P(X_2=2)]+\\+P(X_1=1)[P(X_2=0)+P(X_2=1)]+P(X_1=2)\cdot P(X_2=0)\\
P(X_1=0)=\frac{1,2^0e^{-1,2}}{0!}=e^{-1,2}\\
P(X_1=1)=\frac{1,2^1e^{-1,2}}{1!}=1,2e^{-1,2}\\
P(X_1=2)=\frac{1,2^2e^{-1,2}}{2!}=0,72e^{-1,2}\\
P(X_2=0)=\frac{0,9^0e^{-0,9}}{0!}=e^{-0,9}\\
P(X_2=1)=\frac{0,9^1e^{-0,9}}{1!}=0,9e^{-0,9}\\
P(X_2=2)=\frac{0,9^2e^{-0,9}}{2!}=0,405e^{-0,9}\\
P(X>2)=1- e^{-1,2}(e^{-0,9}+0,9e^{-0,9}+0,405e^{-0,9})-\\-1,2e^{-1,2}(e^{-0,9}+0,9e^{-0,9})-0,72e^{-1,2}\cdot 0,405e^{-0,9}=\\=1-e^{-2,1}(2,305+1,2\cdot 1,9+0,72\cdot0,405)\simeq 0,40\\}\)