Argument liczby zespolonej

[bazilazi]

\(\displaystyle{ \arg(5+5i)= ? \\
a = 5 \\
b = 5 \\
|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{5^{2}+5^{2}}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}=\sqrt{25 \cdot 2}=5\sqrt{2} \\
\sin \varphi= \frac{b}{|z|}=\frac{5}{5\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\cos\varphi= \frac{a}{|z|}=\frac{5}{5\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}}\)
Podany wynik w odpowiedziach to \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4}}\). Staram się samemu dojść do takiego wyniku od ponad godziny jednak bezskutecznie, proszę o pomoc.
Jakie jeszcze obliczenia powinienem wykonać?

[ares41]

\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin \varphi = \frac{1}{ \sqrt{2} }= \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \cos \varphi = \frac{1}{ \sqrt{2} }= \frac{ \sqrt{2} }{2} \end{cases} \Rightarrow \text{Arg } z = \frac{\pi}{4}}\)

[bazilazi]

Wytłumaczyłbyś mi jeszcze skąd się wzięło \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) i dlaczego wychodzi z tego \(\displaystyle{ z = \frac{\pi}{4}}\)?

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) Już wiem skąd ale w dalszym ciągu nie potrafię doprowadzić do wyniku \(\displaystyle{ z = \frac{\pi}{4}}\)

[ares41]

Po pierwsze to nie \(\displaystyle{ z}\) jest równe \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) tylko jest to argument główny tej liczby zespolonej.

Wytłumaczyłbyś mi jeszcze skąd się wzięło \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{2} }= \frac{1 \cdot \sqrt{2} }{ \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

Jeżeli sinus i cosinus pewnego kąta \(\displaystyle{ \varphi}\) są sobie równe i wynoszą \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) to z trygonometrii wiemy, że jedynymi takimi kątami są \(\displaystyle{ \varphi= \frac{\pi}{4} + 2k\pi , \ k \in \mathbb Z}\), więc argumentem głównym naszej liczby zespolonej jest \(\displaystyle{ \varphi=\frac{\pi}{4}}\)