szereg funkcjny

[mattix19]

Witam
kompletnie nie wiem jak sie za to zabrac. Probowalem z warunku koniecznego zbienosci ale nic madrego mi nie wyszlo
Zadanie:
Dla jakich x nalezacych do R zbiezny jesr szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2+3\cos2nx}{ \sqrt{n} + \sqrt{n ^{3} } }}\)

[Arst]

Kryterium Weierstrassa

[Majeskas]

Właśnie. Zauważ, że \(\displaystyle{ \forall n \in \mathbb{N} \quad \forall x \in \mathbb{R} \quad \cos2nx \le 1}\)

[mattix19]

dobra z kryterium porownawczego wyszlo mi ze jest zbiezny a jak teraz zapisac dla jakich x jest zbiezny?

[Majeskas]

Skoro wyszło Ci, że jest zbieżny, to przecież musiałeś wiedzieć dla jakich argumentów Ci tak wyszło. Jeśli to szacowałeś, to szereg będzie zbieżny jednostajnie dla tych argumentów, dla których szacowałeś.

[mattix19]

no poprostu podstawilem \(\displaystyle{ 1}\) za \(\displaystyle{ cos2nx}\) i potem zwiekszylem odpowiednio i wyszedl zbiezny czyli dla kazdego x nalezacego do \(\displaystyle{ R}\) jest zbiezny?

[Majeskas]

Owszem, choć to, co mówisz jest trochę nieścisłe. Nie można sobie czegoś podstawić. Kiedy orzekamy zbieżność jednostajną szeregu funkcyjnego na jakimś zbiorze na podstawie kryterium Weirestrassa, posługujemy się szacowaniem, które ma być dobre dla każdego \(\displaystyle{ x}\) z tego zbioru.

W tym wypadku:

\(\displaystyle{ \forall n \in \mathbb{N_+} \quad \forall x \in \mathbb{R} \quad \left| \frac{2+3\cos2nx}{ \sqrt{n}\left( n+1\right) } \right| < \frac{5}{n \sqrt{n} }}\)

Zbieżność szeregu funkcyjnego na całym \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) wynika z oszacowania przez szereg zbieżny, które na całym \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) jest dobre.