Zbadać zbieżność ciągu:
\(\displaystyle{ a_{n}=\left(1+\frac{1}{1^2}\right)\left(1+\frac{1}{2^2}\right)...\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}\)
Do analizy biorę tylko wyraz ogólny, czyli:
\(\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{n^2}\right)}\)
Zbieżność ciągów
-
ares41
- Użytkownik
- Posty: 6499
- Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 142 razy
- Pomógł: 922 razy
Zbieżność ciągów
Wskazówka:
Twój ciąg to:
\(\displaystyle{ a_n= \prod_{k=1}^{n}\left( 1+\frac{1}{k^2} \right) =\prod_{k=1}^{n}\left( \frac{k^2+1}{k^2} \right)= \frac{\prod_{k=1}^{n}\left(k^2+1\right)}{ \left( n! \right)^2 }}\)
Twój ciąg to:
\(\displaystyle{ a_n= \prod_{k=1}^{n}\left( 1+\frac{1}{k^2} \right) =\prod_{k=1}^{n}\left( \frac{k^2+1}{k^2} \right)= \frac{\prod_{k=1}^{n}\left(k^2+1\right)}{ \left( n! \right)^2 }}\)
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Zbieżność ciągów
Nie wiem jaki pomysł ma ares41, ale ja bym proponował skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ 1+x\le e^x}\) i oszacować każdy składnik:
\(\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{1^2}\right)\left(1+\frac{1}{2^2}\right)\ldots\left(1+\frac{1}{n^2}\right) \le e^{\frac{1}{1^2}}e^{\frac{1}{2^2}}\ldots e^{\frac{1}{n^2}}=e^{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\ldots +\frac{1}{n^2}}<e^2}\)
Ponieważ nasz ciąg jest też rosnący (co łatwo wykazać badając \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}}\)), więc musi być zbieżny.
Q.
\(\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{1^2}\right)\left(1+\frac{1}{2^2}\right)\ldots\left(1+\frac{1}{n^2}\right) \le e^{\frac{1}{1^2}}e^{\frac{1}{2^2}}\ldots e^{\frac{1}{n^2}}=e^{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\ldots +\frac{1}{n^2}}<e^2}\)
Ponieważ nasz ciąg jest też rosnący (co łatwo wykazać badając \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}}\)), więc musi być zbieżny.
Q.