Równania rózniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego o zmiennych

[Bezwodnik23]

1)Równanie:(7.44) Krysicki, Włodarski
\(\displaystyle{ 2x \sqrt{ax-x^2} \frac{dy}{dx} = a^{2} + y^{2}}\)
Rodzielam zmienne :

\(\displaystyle{ 2x \sqrt{ax-x^2} dy = (a^{2} + y^{2}) dx \\ \frac{dy}{a^{2}+y^{2}} = \frac{1}{2x\sqrt{ax-x^2}} dx}\)
Całkuję:

\(\displaystyle{ \int \frac{dy}{a^{2}+y^{2}} = \int \frac{1}{2x\sqrt{ax-x^2}} dx}\)

Wynik pierwszej całki to \(\displaystyle{ \frac{1}{a} \arctan \frac{y}{a} + c}\) i tu pytanie jak ruszyć drugą całkę?
2)Równanie (7.53)
\(\displaystyle{ (2+y) \sqrt{1+ x^{2} } = \sqrt{1+ y^{2} } \frac{dy}{dx}}\)

Czy w tym zadaniu otrzymam takie całki ?

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{ \sqrt{ 1+ x^{2}} } = \int \frac{2+y}{ \sqrt{1+ y^{2}} } dy}\)
3)Równanie (7.54)

\(\displaystyle{ x \frac{dy}{dx} - y = \frac{dy}{dx} \sqrt{1+ x^{2} } + \sqrt{1+ y^{2} }}\)

Rozdzielam zmienne :
\(\displaystyle{ \left( x- \sqrt{1+x^{2} } \right) {dy} = \left( y+ \sqrt{1+ y^{2} } \right) dx}\)

Otrzymuję całeczki:
\(\displaystyle{ \int \frac{dy}{y+\sqrt{1+y^2}} = \int \frac{dx}{x-\sqrt{1+x^2}}}\)

Jak rozwiązać te całki ?
Pomożecie ?

[miki999]

Czy w tym zadaniu otrzymam takie całki ?

Nie. Powinny być odwrotności pod całkami.

Całki należą do długich i jest dosyć późno, więc polecę drogę na skróty(linki):

Kod: Zaznacz cały

wolframalpha.com/input/?i=int+1%2F%28x*sqrt[a*x-x^2]
wolframalpha.com/input/?i=int+1%2F%28y%2Bsqrt[1%2By^2]%29
wolframalpha.com/input/?i=int+1%2F%28x-sqrt[1%2Bx^2]%29

Należy przy wyniku całki nacisnąć: "Show steps".


Pozdrawiam.

[mkacz]

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dy}{y+\sqrt{1+y^2}}}\), \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dx}{x-\sqrt{1+x^2}}}\) - do tych dwóch całek proponuję pierwsze podstawienie Eulera - po takim triku pozbędziesz się tych paskudnych pierwiastków i wyjdziesz na całki wymierne.