nierówności i równania kwadratowe
-
- Użytkownik
- Posty: 29
- Rejestracja: 12 cze 2011, o 10:04
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
nierówności i równania kwadratowe
1.Nierówność z parametrem m \(\displaystyle{ -5x{^2}+(2m-2)x+m{^2}+1 \ge 0}\) jest spełniona dla wszystkich x rzeczywistych jeśli parametr m.....
2. Jeśli k jest dowolną liczbą całkowitą to pierwiastki równania \(\displaystyle{ x{^2}+kx+k-1=0}\) są z pewnością liczbami..
3.pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x{^2}-123456789x+123456788=0}\) są...
4.Równanie kwadratowe \(\displaystyle{ (k+1)x{^2}+(k{^5}-k{^4}+k-3)x+k{^2}-1=0}\) z parametrem k , ma dwa pierwiastki z których jeden jest odwrotnością drugiego. w takim przypadku współczynnik przy zmiennej x w pierwszej potędze jest równy..............
5.Równanie \(\displaystyle{ x{^2}+bx+c=0}\) ma dwa różne pierwiastki ujemne.Wtedy współczynnik c jest....
Proszę o pomoc..
2. Jeśli k jest dowolną liczbą całkowitą to pierwiastki równania \(\displaystyle{ x{^2}+kx+k-1=0}\) są z pewnością liczbami..
3.pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x{^2}-123456789x+123456788=0}\) są...
4.Równanie kwadratowe \(\displaystyle{ (k+1)x{^2}+(k{^5}-k{^4}+k-3)x+k{^2}-1=0}\) z parametrem k , ma dwa pierwiastki z których jeden jest odwrotnością drugiego. w takim przypadku współczynnik przy zmiennej x w pierwszej potędze jest równy..............
5.Równanie \(\displaystyle{ x{^2}+bx+c=0}\) ma dwa różne pierwiastki ujemne.Wtedy współczynnik c jest....
Proszę o pomoc..
-
- Moderator
- Posty: 2828
- Rejestracja: 15 cze 2008, o 15:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Seattle, WA
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 356 razy
nierówności i równania kwadratowe
1. Spróbuj to narysować.
2. Oblicz pierwiastki.
3. Jak w drugim.
4. Jakie warunki należy nałożyć na pierwiastki zgodnie z treścią zadania?
5. Na przykład wzory Viete'a.
2. Oblicz pierwiastki.
3. Jak w drugim.
4. Jakie warunki należy nałożyć na pierwiastki zgodnie z treścią zadania?
5. Na przykład wzory Viete'a.
-
- Użytkownik
- Posty: 29
- Rejestracja: 12 cze 2011, o 10:04
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
nierówności i równania kwadratowe
2.całkowitymi
3. 1 i 123456788
4. 15
5. większy od zera
dobrze?
i proszę o pomoc przy pierwszym bo nie mam pojęcia jak je zrobić..
3. 1 i 123456788
4. 15
5. większy od zera
dobrze?
i proszę o pomoc przy pierwszym bo nie mam pojęcia jak je zrobić..
-
- Użytkownik
- Posty: 29
- Rejestracja: 12 cze 2011, o 10:04
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
nierówności i równania kwadratowe
właśnie -5 i dlatego mi nie wychodzą żadne pierwiastki.
Zeby parabola była ponad delta musi byc mniejsza od zera
Zeby parabola była ponad delta musi byc mniejsza od zera
-
- Użytkownik
- Posty: 1456
- Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 49 razy
- Pomógł: 198 razy
nierówności i równania kwadratowe
Jeśli nie ma błędu, to w 1 \(\displaystyle{ m \in \emptyset}\)
Wszystkie odpowiedzi są ok.Zielony_Kapelusz pisze:2.całkowitymi
3. 1 i 123456788
4. 15
5. większy od zera
dobrze?
i proszę o pomoc przy pierwszym bo nie mam pojęcia jak je zrobić..
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
nierówności i równania kwadratowe
2. Jak to łatwo rozwiązać? Matematycznie oczywiście Jeśli suma i iloczyn pierwiastków jest liczbą całkowitą to oznacza, że rozwiązania też są takowymi liczbami?
Zrobiłem to indukcyjnie, dobrze?
3. Tw. Bezouta, łatwo wpaść, że jednym z pierwiastków jest jedynka i potem wystarczy podzielić wielomian i już mamy drugi. Raczej nie mieliście na myśli obliczania x1, x2?
Zrobiłem to indukcyjnie, dobrze?
Ukryta treść:
Ostatnio zmieniony 17 lip 2011, o 19:17 przez kamil13151, łącznie zmieniany 2 razy.
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
nierówności i równania kwadratowe
No trochę nie tak, bo wychodzi na to, że udowodniłeś dla k naturalnych dodatnich (sprawdzasz, że działa dla \(\displaystyle{ k=1}\), zakładasz, że działa dla pewnego k i dowodzisz dla \(\displaystyle{ k+1}\), to będzie działało dla wszystkich całkowitych \(\displaystyle{ k \ge 1}\), jeżeli się upierasz przy indukcji, to możesz sprawdzić dla \(\displaystyle{ k=0}\) i potem pokazać \(\displaystyle{ T(k) \Rightarrow T(k+1) \wedge T(-k) \Rightarrow T(-k-1)}\)) jednak wystarczy tylko zauważyć, że \(\displaystyle{ \frac{-k\pm \sqrt{k^2-4k+4}}{2} = \frac{-k \pm |k-2|}{2} (*) \\ \\ (*) = \frac{-k+k-2}{2} = -1 \vee (*) = \frac{-k-k+2}{2} = -k+1}\)
co będzie całkowite dla dowolnego całkowitego k.
Co do 3 to \(\displaystyle{ x^2-123456789x+123456788 = (x-1)(x-123456788)}\)
co będzie całkowite dla dowolnego całkowitego k.
Co do 3 to \(\displaystyle{ x^2-123456789x+123456788 = (x-1)(x-123456788)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
nierówności i równania kwadratowe
No to trzeba będzie kiedyś usiąść do tej indukcji, bo słabiutko u mnie z nią, a może się przydać na maturze . Dzięki
Jeszcze mnie trapi:
Jeśli suma i iloczyn pierwiastków jest liczbą całkowitą to oznacza, że rozwiązania też są takowymi liczbami?
Jeszcze mnie trapi:
Jeśli suma i iloczyn pierwiastków jest liczbą całkowitą to oznacza, że rozwiązania też są takowymi liczbami?
Tu chodzi o współczynnik przy \(\displaystyle{ x^2}\) czy \(\displaystyle{ x}\)? Trochę mi zamieszali .takim przypadku współczynnik przy zmiennej x w pierwszej potędze jest równy
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
nierówności i równania kwadratowe
Tak (oczywiście dla liczb wymiernych, dla rzeczywistych nie działa), dowód można łatwo przeprowadzić nie wprost, załóżmy, że założenia spełnia jedna liczba całkowita i jedna wymierna niecałkowita, niech \(\displaystyle{ x = a , a\in \mathbb{Z} \wedge y = \frac{p}{q} , (p,q)=1}\) wówczas z założenia mamy \(\displaystyle{ x+y = k , k\in \mathbb{Z} \Rightarrow a+\frac{p}{q} = k \Leftrightarrow \frac{p}{q} = k-a}\) sprzeczność, ponieważ po lewej mamy liczbę niecałkowitą, a po prawej całkowitą. Sprawdźmy teraz przypadek, kiedy obie liczby są wymierne niecałkowite, niech:kamil13151 pisze:Jeszcze mnie trapi:
Jeśli suma i iloczyn pierwiastków jest liczbą całkowitą to oznacza, że rozwiązania też są takowymi liczbami?
\(\displaystyle{ x = \frac{a}{b} , (a,b)=1 \wedge y = \frac{c}{d} , (c,d)=1}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ |b| \ge 2 \wedge |d| \ge 2}\) z założenia mamy:
\(\displaystyle{ x+y = \frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd} \in \mathbb{Z}}\) czyli w szczególności musi zachodzić:
\(\displaystyle{ \begin{cases} ad+bc \equiv 0\pmod{b} \\ ad+bc \equiv 0\pmod{d} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} ad \equiv 0\pmod{b}/:a \\ bc \equiv 0 \pmod{d}/:c \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} d \equiv 0 \pmod{b}\\ b \equiv 0\pmod{d} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} d=k_1b \\ b=k_2d \end{cases}}\)
gdzie \(\displaystyle{ k_1 , k_2 \in \mathbb{Z} \setminus \lbrace 0\rbrace}\), podnosząc dane równania do kwadratu i dodając obustronnie otrzymujemy:
\(\displaystyle{ b^2+d^2 = k_1^2b^2+k_2^2d^2 \Leftrightarrow b^2(k_1^2-1)+d^2(k_2^2-1) = 0 \Rightarrow k_1^2=1 \wedge k_2^2=1}\)
Z tego dostajemy \(\displaystyle{ b=d \vee b=-d}\) ale wtedy:
\(\displaystyle{ x\cdot y = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{\pm b^2}}\) co nie może być całkowite, ponieważ \(\displaystyle{ (a,\pm b)=1}\) oraz \(\displaystyle{ (c,\pm b) = (c,\pm d) = 1}\) więc licznik jest względnie pierwszy z mianownikiem, czyli podsumowując jeżeli suma i iloczyn 2 liczb jest całkowity, to te 2 liczby są całkowite.
Ostatnio zmieniony 17 lip 2011, o 21:08 przez Vax, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 1456
- Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 49 razy
- Pomógł: 198 razy
nierówności i równania kwadratowe
Nie. Oto kontrprzykład:
Jeszcze mnie trapi:
Jeśli suma i iloczyn pierwiastków jest liczbą całkowitą to oznacza, że rozwiązania też są takowymi liczbami?
\(\displaystyle{ x^2-2x-1=0}\)
\(\displaystyle{ x_1=1- \sqrt{2}\\x_2=1+ \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1+x_2=2 \in \mathbb{Z} \\ x_1x_2=-1\in \mathbb{Z} \\ x_1, \ x_2 \not\in \mathbb{Z} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x}\) w pierwszej potędze to \(\displaystyle{ x^1=x}\)Tu chodzi o współczynnik przy \(\displaystyle{ x^2}\) czy \(\displaystyle{ x}\)? Trochę mi zamieszali .takim przypadku współczynnik przy zmiennej x w pierwszej potędze jest równy
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy