nierówności i równania kwadratowe

[Zielony_Kapelusz]

1.Nierówność z parametrem m \(\displaystyle{ -5x{^2}+(2m-2)x+m{^2}+1 \ge 0}\) jest spełniona dla wszystkich x rzeczywistych jeśli parametr m.....
2. Jeśli k jest dowolną liczbą całkowitą to pierwiastki równania \(\displaystyle{ x{^2}+kx+k-1=0}\) są z pewnością liczbami..
3.pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x{^2}-123456789x+123456788=0}\) są...
4.Równanie kwadratowe \(\displaystyle{ (k+1)x{^2}+(k{^5}-k{^4}+k-3)x+k{^2}-1=0}\) z parametrem k , ma dwa pierwiastki z których jeden jest odwrotnością drugiego. w takim przypadku współczynnik przy zmiennej x w pierwszej potędze jest równy..............
5.Równanie \(\displaystyle{ x{^2}+bx+c=0}\) ma dwa różne pierwiastki ujemne.Wtedy współczynnik c jest....

Proszę o pomoc..

[Afish]

1. Spróbuj to narysować.
2. Oblicz pierwiastki.
3. Jak w drugim.
4. Jakie warunki należy nałożyć na pierwiastki zgodnie z treścią zadania?
5. Na przykład wzory Viete'a.

[Zielony_Kapelusz]

2.całkowitymi
3. 1 i 123456788
4. 15
5. większy od zera

dobrze?
i proszę o pomoc przy pierwszym bo nie mam pojęcia jak je zrobić..

[piti-n]

1. Kiedy parabola będzie zawsze ponad osią OX?-- 17 lip 2011, o 14:26 --PS: tam na pewno jest -5, a nie 5?

[Zielony_Kapelusz]

właśnie -5 i dlatego mi nie wychodzą żadne pierwiastki.
Zeby parabola była ponad delta musi byc mniejsza od zera

[piti-n]

No i \(\displaystyle{ a>0}\), stąd to moje pytanie. Jak dla mnie to zadanie albo zawiera błąd

[Majeskas]

Jeśli nie ma błędu, to w 1 \(\displaystyle{ m \in \emptyset}\)

2.całkowitymi
3. 1 i 123456788
4. 15
5. większy od zera

dobrze?
i proszę o pomoc przy pierwszym bo nie mam pojęcia jak je zrobić..

Wszystkie odpowiedzi są ok.

[piti-n]

Faktycznie. Nie przewidziałem takiej możliwości. Głupi bład

[kamil13151]

2. Jak to łatwo rozwiązać? Matematycznie oczywiście Jeśli suma i iloczyn pierwiastków jest liczbą całkowitą to oznacza, że rozwiązania też są takowymi liczbami?

Zrobiłem to indukcyjnie, dobrze?

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ x= \frac{-k \pm \sqrt{k^2-4(k-1)} }{2}}\)
Żeby pierwiastki były liczbami całkowitymi licznik musi być postaci \(\displaystyle{ 2a}\) gdzie \(\displaystyle{ a}\) jest liczbą całkowitą.
1) Sprawdzam równanie dla \(\displaystyle{ k=1}\), działa.
2) Zakładam, że równanie \(\displaystyle{ -k \pm \sqrt{k^2-4(k-1)} =2a}\) jest prawdziwe oraz udowadniam dla \(\displaystyle{ k+1}\).
\(\displaystyle{ -(k+1) \pm \sqrt{(k+1)^2-4((k+1)-1)}=-k-1 \pm |k-1|}\)
\(\displaystyle{ -k-1 \pm |k-1|= \begin{cases} -k-1 \pm (k-1) \ dla \ k \ge 1 \\ -k-1 \pm (-k+1) \ dla \ k < 1 \end{cases}}\)
Powyższe założenie jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ \pm}\), ponieważ dostajemy ostatecznie \(\displaystyle{ -2}\) lub \(\displaystyle{ -2k}\), co jest na pewno podzielne .
Trochę tak pomotałem, nie umiem jeszcze dobrze indukcji.

3. Tw. Bezouta, łatwo wpaść, że jednym z pierwiastków jest jedynka i potem wystarczy podzielić wielomian i już mamy drugi. Raczej nie mieliście na myśli obliczania x1, x2?

[Vax]

No trochę nie tak, bo wychodzi na to, że udowodniłeś dla k naturalnych dodatnich (sprawdzasz, że działa dla \(\displaystyle{ k=1}\), zakładasz, że działa dla pewnego k i dowodzisz dla \(\displaystyle{ k+1}\), to będzie działało dla wszystkich całkowitych \(\displaystyle{ k \ge 1}\), jeżeli się upierasz przy indukcji, to możesz sprawdzić dla \(\displaystyle{ k=0}\) i potem pokazać \(\displaystyle{ T(k) \Rightarrow T(k+1) \wedge T(-k) \Rightarrow T(-k-1)}\)) jednak wystarczy tylko zauważyć, że \(\displaystyle{ \frac{-k\pm \sqrt{k^2-4k+4}}{2} = \frac{-k \pm |k-2|}{2} (*) \\ \\ (*) = \frac{-k+k-2}{2} = -1 \vee (*) = \frac{-k-k+2}{2} = -k+1}\)
co będzie całkowite dla dowolnego całkowitego k.
Co do 3 to \(\displaystyle{ x^2-123456789x+123456788 = (x-1)(x-123456788)}\)

[kamil13151]

No to trzeba będzie kiedyś usiąść do tej indukcji, bo słabiutko u mnie z nią, a może się przydać na maturze . Dzięki

Jeszcze mnie trapi:
Jeśli suma i iloczyn pierwiastków jest liczbą całkowitą to oznacza, że rozwiązania też są takowymi liczbami?

takim przypadku współczynnik przy zmiennej x w pierwszej potędze jest równy

Tu chodzi o współczynnik przy \(\displaystyle{ x^2}\) czy \(\displaystyle{ x}\)? Trochę mi zamieszali .

[Vax]

Jeszcze mnie trapi:
Jeśli suma i iloczyn pierwiastków jest liczbą całkowitą to oznacza, że rozwiązania też są takowymi liczbami?

Tak (oczywiście dla liczb wymiernych, dla rzeczywistych nie działa), dowód można łatwo przeprowadzić nie wprost, załóżmy, że założenia spełnia jedna liczba całkowita i jedna wymierna niecałkowita, niech \(\displaystyle{ x = a , a\in \mathbb{Z} \wedge y = \frac{p}{q} , (p,q)=1}\) wówczas z założenia mamy \(\displaystyle{ x+y = k , k\in \mathbb{Z} \Rightarrow a+\frac{p}{q} = k \Leftrightarrow \frac{p}{q} = k-a}\) sprzeczność, ponieważ po lewej mamy liczbę niecałkowitą, a po prawej całkowitą. Sprawdźmy teraz przypadek, kiedy obie liczby są wymierne niecałkowite, niech:

\(\displaystyle{ x = \frac{a}{b} , (a,b)=1 \wedge y = \frac{c}{d} , (c,d)=1}\)

Oczywiście \(\displaystyle{ |b| \ge 2 \wedge |d| \ge 2}\) z założenia mamy:

\(\displaystyle{ x+y = \frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd} \in \mathbb{Z}}\) czyli w szczególności musi zachodzić:

\(\displaystyle{ \begin{cases} ad+bc \equiv 0\pmod{b} \\ ad+bc \equiv 0\pmod{d} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} ad \equiv 0\pmod{b}/:a \\ bc \equiv 0 \pmod{d}/:c \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} d \equiv 0 \pmod{b}\\ b \equiv 0\pmod{d} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} d=k_1b \\ b=k_2d \end{cases}}\)

gdzie \(\displaystyle{ k_1 , k_2 \in \mathbb{Z} \setminus \lbrace 0\rbrace}\), podnosząc dane równania do kwadratu i dodając obustronnie otrzymujemy:

\(\displaystyle{ b^2+d^2 = k_1^2b^2+k_2^2d^2 \Leftrightarrow b^2(k_1^2-1)+d^2(k_2^2-1) = 0 \Rightarrow k_1^2=1 \wedge k_2^2=1}\)

Z tego dostajemy \(\displaystyle{ b=d \vee b=-d}\) ale wtedy:

\(\displaystyle{ x\cdot y = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{\pm b^2}}\) co nie może być całkowite, ponieważ \(\displaystyle{ (a,\pm b)=1}\) oraz \(\displaystyle{ (c,\pm b) = (c,\pm d) = 1}\) więc licznik jest względnie pierwszy z mianownikiem, czyli podsumowując jeżeli suma i iloczyn 2 liczb jest całkowity, to te 2 liczby są całkowite.

[Majeskas]

Jeszcze mnie trapi:
Jeśli suma i iloczyn pierwiastków jest liczbą całkowitą to oznacza, że rozwiązania też są takowymi liczbami?

Nie. Oto kontrprzykład:

\(\displaystyle{ x^2-2x-1=0}\)

\(\displaystyle{ x_1=1- \sqrt{2}\\x_2=1+ \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1+x_2=2 \in \mathbb{Z} \\ x_1x_2=-1\in \mathbb{Z} \\ x_1, \ x_2 \not\in \mathbb{Z} \end{cases}}\)

takim przypadku współczynnik przy zmiennej x w pierwszej potędze jest równy

Tu chodzi o współczynnik przy \(\displaystyle{ x^2}\) czy \(\displaystyle{ x}\)? Trochę mi zamieszali .

\(\displaystyle{ x}\) w pierwszej potędze to \(\displaystyle{ x^1=x}\)

[kamil13151]

Dzięki Vax i Majeskas .