Granica ciągu. Potrzeba oszacować z jednej strony.

[Linkas]

Witam
Mam taki ciąg:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{ \frac{4^n}{n^2} + n \cdot 3^n+ 5n^3}}\)
Oszacowałem to z lewej strony przez:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{ \frac{4^n}{n^2} } = 4}\)
Nie mogę tego oszacować z prawej strony. Z wolfram alfa wiem, że ten ciąg zbiega do 4.

[sir_matin]

można tak:

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{ \frac{4^n}{n^2} + n \cdot 3^n+ 5n^3}\le \sqrt[n]{ 4^{n}+n\cdot 4^{n}+5\cdot 4^{n} }}\)

[Majeskas]

Ja bym wręcz szacował tak:

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{ \frac{4^n}{n^2} + n \cdot 3^n+ 5n^3}\le \sqrt[n]{ 4^{n}+4^{n}+4^{n} }}\)

[Qń]

Najbrutalniej (wtedy nie trzeba się tłumaczyć z żadnej nierówności):
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{ \frac{4^n}{n^2} + n \cdot 3^n+ 5n^3}\le \sqrt[n]{ n^3 \cdot 4^{n}+n^3\cdot 4^{n}+5n^3\cdot 4^{n} }=\sqrt[n]{7}\cdot \left( \sqrt[n]{n}\right)^3 \cdot 4}\).

Q.

[sir_matin]

Ja bym wręcz szacował tak:

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{ \frac{4^n}{n^2} + n \cdot 3^n+ 5n^3}\le \sqrt[n]{ 4^{n}+4^{n}+4^{n} }}\)

w woli ścisłości to dla \(\displaystyle{ n=2,3}\) leży...

[Qń]

w woli ścisłości to dla \(\displaystyle{ n=2,3}\) leży...

Gwoli ścisłości:
- Po pierwsze:
- Po drugie: w twierdzeniu o trzech ciągach wystarczy jeśli nierówności są prawdziwe dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\). W szczególności więc śmiało można używać szacowań typu \(\displaystyle{ n^{1000} <(1,001)^n}\)

Q.