szereg geometryczny z granica i symbol Newtona

[piti-n]

Oblicz sumę nieskończonego ciągu geometrycznego, w którym \(\displaystyle{ a _{1}= \lim_{n \to \infty } \frac{1+2+3+...+n}{ {n \choose 2} }}\) , natomiast iloraz \(\displaystyle{ q= \sin 2 \alpha}\) gdy \(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{3}{5}}\)

\(\displaystyle{ \frac{9}{25}+\cos ^{2} \alpha =1}\)
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{4}{5} \vee \cos \alpha =- \frac{4}{5}}\)

Rozważam najpierw, że \(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{4}{5}}\)


\(\displaystyle{ q= \sin 2 \alpha =2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}}\)


\(\displaystyle{ {n \choose 2}= \frac{n!}{2!(n-2)!}}\)

\(\displaystyle{ a _{1}= \lim_{n \to \infty } \frac{ \frac{n+n ^{2} }{2} }{ \frac{n!}{2!(n-2)!} } = \lim_{n \to \infty } \frac{n+n ^{2} }{2} \cdot \frac{1 \cdot 2(n-2)!}{n!}= \lim_{n \to \infty } n+n ^{2} \cdot \frac{(n-2)!}{n!}}\)

No i tu utknąłem. Nie wiem jak to dalej skrócić, albo coś zrobić innego.

[Tomek_Z]

Rozpisz silnię w mianowniku, \(\displaystyle{ n! = n(n-1)(n-2)!}\).

[Majeskas]

Drobna uwaga. Powinno być:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left( n^2+n\right) \cdot \frac{\left( n-2\right)! }{n!}}\)

Skorzystaj z tego: \(\displaystyle{ n!=\left( n-2\right)! \cdot \left( n-1\right) \cdot n}\)

[piti-n]

dziękuję bardzo. Teraz już łatwo