Wykaż, że wyrażenie jest równe zero przy podanym założeniu.

[prosper]

Witam serdecznie!

Zadanie jest tego typu:

Udowodnij, że jeżeli:
\(\displaystyle{ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b}=1}\)

to wtedy:

\(\displaystyle{ \frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{c^2}{a+b}=0}\)

Prosiłbym o jakieś wskazówki jak się za to zabrać.

[Qń]

Pomnóż wyjściową równość stronami raz przez \(\displaystyle{ a}\), raz przez \(\displaystyle{ b}\) i raz przez \(\displaystyle{ c}\). A następnie dodaj stronami trzy otrzymane równości i uporządkuj to co trzeba.

Q.

[prosper]

W ten sposób?

\(\displaystyle{ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} =1}\)

\(\displaystyle{ \frac{a^2}{b+c} + \frac{ab}{a+c} + \frac{ac}{a+b} =a}\)

\(\displaystyle{ \frac{ab}{b+c} + \frac{b^2}{a+c} + \frac{bc}{a+b} =b}\)

\(\displaystyle{ \frac{ac}{b+c} + \frac{bc}{a+c} + \frac{c^2}{a+b} =c}\)

\(\displaystyle{ \frac{a^2}{b+c} + \frac{ab}{a+c} + \frac{ac}{a+b}+\frac{ab}{b+c} + \frac{b^2}{a+c} + \frac{bc}{a+b}+\frac{ac}{b+c} + \frac{bc}{a+c} + \frac{c^2}{a+b}=a+b+c}\)

\(\displaystyle{ \frac{a^2+ac+bc}{a+b}+ \frac{b^2+ab+bc}{a+c}+ \frac{a^2+ab+ac}{b+c} =a+b+c}\)

[Qń]

\(\displaystyle{ \frac{a^3}{b+c} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2a}{b} =a}\)

Skąd to się wzięło? Bo na pewno nie z pomnożenia równości \(\displaystyle{ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b}=1}\) stronami przez \(\displaystyle{ a}\).

Q.

[prosper]

Pozwoliłem sobie na reedycję wcześniejszego postu.

[Inkwizytor]

W ten sposób?

\(\displaystyle{ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} =1}\)

\(\displaystyle{ \frac{a^2}{b+c} + \frac{b}{c} + \frac{c}{b} =a}\)

\(\displaystyle{ \frac{a}{c} + \frac{b^2}{a+c} + \frac{c}{a} =b}\)

\(\displaystyle{ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + \frac{c^2}{a+b} =c}\)

Oł Dżizas!
Elementarna wiedza najpierw potrzebna (kiedy i jak wolno skracać ułamki)

[Qń]

A w jaki sposób \(\displaystyle{ \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b}}\) pomnożone przez \(\displaystyle{ a}\) miałoby stać się równe \(\displaystyle{ \frac bc +\frac cb}\)?

Q.

[Inkwizytor]

proseper, czyli wg. tego co napisałeś
\(\displaystyle{ \frac{2}{5} \cdot 3 = \frac{2}{2+3} \cdot 3 =}\) "skracamy" \(\displaystyle{ = \frac{2}{2} = 1}\)

Qń, zwróć uwagę co gdzie zniknęło.

[prosper]

Ależ wpadka z tymi ułamkami.

Jeszcze jedna edycja.

[Qń]

\(\displaystyle{ \frac{a^2}{b+c} + \frac{ab}{a+c} + \frac{ac}{a+b}+\frac{ab}{b+c} + \frac{b^2}{a+c} + \frac{bc}{a+b}+\frac{ac}{b+c} + \frac{bc}{a+c} + \frac{c^2}{a+b}=a+b+c}\)

\(\displaystyle{ \frac{a^2+ac+bc}{a+b}+ \frac{b^2+ab+bc}{a+c}+ \frac{a^2+ab+ac}{b+c} =a+b+c}\)

Rachunki poprawne, ale w ostatniej linijce niepotrzebnie wciągasz wszystko do jednego ułamka. To co pojawia się w tezie lepiej zostawić z boku, tzn:
\(\displaystyle{ \frac{a^2}{a+b}+ \frac{b^2}{a+c}+ \frac{a^2}{b+c}+\frac{ac+bc}{a+b}+ \frac{ab+bc}{a+c}+ \frac{ab+ac}{b+c} =a+b+c}\)
Teraz postaraj się uprościć ułamki (te bez kwadratów).

Q.

[prosper]

\(\displaystyle{ \frac{a^2}{a+b}+ \frac{b^2}{a+c}+ \frac{c^2}{b+c}+\frac{c(a+b)}{a+b}+ \frac{b(a+c)}{a+c}+ \frac{a(b+c)}{b+c} =a+b+c}\)

\(\displaystyle{ \frac{a^2}{a+b}+ \frac{b^2}{a+c}+ \frac{c^2}{b+c}+a+b+c=a+b+c}\)

\(\displaystyle{ \frac{a^2}{a+b}+ \frac{b^2}{a+c}+ \frac{c^2}{b+c}=0}\)

cnd?

[Qń]

Zgadza się, otrzymaliśmy zatem tezę, czyli koniec zadania.

Q.

[prosper]

Dziękuję za pomoc i jeszcze raz przepraszam za te ułamki.