Wykaż, że wyrażenie jest równe zero przy podanym założeniu.
Wykaż, że wyrażenie jest równe zero przy podanym założeniu.
Witam serdecznie!
Zadanie jest tego typu:
Udowodnij, że jeżeli:
\(\displaystyle{ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b}=1}\)
to wtedy:
\(\displaystyle{ \frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{c^2}{a+b}=0}\)
Prosiłbym o jakieś wskazówki jak się za to zabrać.
Zadanie jest tego typu:
Udowodnij, że jeżeli:
\(\displaystyle{ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b}=1}\)
to wtedy:
\(\displaystyle{ \frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{c^2}{a+b}=0}\)
Prosiłbym o jakieś wskazówki jak się za to zabrać.
Ostatnio zmieniony 15 lip 2011, o 20:06 przez Qń, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa nazwy tematu.
Powód: Poprawa nazwy tematu.
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Wykaż, że wyrażenie jest równe zero przy podanym założeniu.
Pomnóż wyjściową równość stronami raz przez \(\displaystyle{ a}\), raz przez \(\displaystyle{ b}\) i raz przez \(\displaystyle{ c}\). A następnie dodaj stronami trzy otrzymane równości i uporządkuj to co trzeba.
Q.
Q.
Wykaż, że wyrażenie jest równe zero przy podanym założeniu.
W ten sposób?
\(\displaystyle{ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} =1}\)
\(\displaystyle{ \frac{a^2}{b+c} + \frac{ab}{a+c} + \frac{ac}{a+b} =a}\)
\(\displaystyle{ \frac{ab}{b+c} + \frac{b^2}{a+c} + \frac{bc}{a+b} =b}\)
\(\displaystyle{ \frac{ac}{b+c} + \frac{bc}{a+c} + \frac{c^2}{a+b} =c}\)
\(\displaystyle{ \frac{a^2}{b+c} + \frac{ab}{a+c} + \frac{ac}{a+b}+\frac{ab}{b+c} + \frac{b^2}{a+c} + \frac{bc}{a+b}+\frac{ac}{b+c} + \frac{bc}{a+c} + \frac{c^2}{a+b}=a+b+c}\)
\(\displaystyle{ \frac{a^2+ac+bc}{a+b}+ \frac{b^2+ab+bc}{a+c}+ \frac{a^2+ab+ac}{b+c} =a+b+c}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} =1}\)
\(\displaystyle{ \frac{a^2}{b+c} + \frac{ab}{a+c} + \frac{ac}{a+b} =a}\)
\(\displaystyle{ \frac{ab}{b+c} + \frac{b^2}{a+c} + \frac{bc}{a+b} =b}\)
\(\displaystyle{ \frac{ac}{b+c} + \frac{bc}{a+c} + \frac{c^2}{a+b} =c}\)
\(\displaystyle{ \frac{a^2}{b+c} + \frac{ab}{a+c} + \frac{ac}{a+b}+\frac{ab}{b+c} + \frac{b^2}{a+c} + \frac{bc}{a+b}+\frac{ac}{b+c} + \frac{bc}{a+c} + \frac{c^2}{a+b}=a+b+c}\)
\(\displaystyle{ \frac{a^2+ac+bc}{a+b}+ \frac{b^2+ab+bc}{a+c}+ \frac{a^2+ab+ac}{b+c} =a+b+c}\)
Ostatnio zmieniony 15 lip 2011, o 20:44 przez prosper, łącznie zmieniany 2 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Wykaż, że wyrażenie jest równe zero przy podanym założeniu.
Skąd to się wzięło? Bo na pewno nie z pomnożenia równości \(\displaystyle{ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b}=1}\) stronami przez \(\displaystyle{ a}\).prosper pisze:\(\displaystyle{ \frac{a^3}{b+c} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2a}{b} =a}\)
Q.
Wykaż, że wyrażenie jest równe zero przy podanym założeniu.
Pozwoliłem sobie na reedycję wcześniejszego postu.
- Inkwizytor
- Użytkownik
- Posty: 4105
- Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 428 razy
Wykaż, że wyrażenie jest równe zero przy podanym założeniu.
Oł Dżizas!prosper pisze:W ten sposób?
\(\displaystyle{ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} =1}\)
\(\displaystyle{ \frac{a^2}{b+c} + \frac{b}{c} + \frac{c}{b} =a}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{c} + \frac{b^2}{a+c} + \frac{c}{a} =b}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + \frac{c^2}{a+b} =c}\)
Elementarna wiedza najpierw potrzebna (kiedy i jak wolno skracać ułamki)
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Wykaż, że wyrażenie jest równe zero przy podanym założeniu.
A w jaki sposób \(\displaystyle{ \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b}}\) pomnożone przez \(\displaystyle{ a}\) miałoby stać się równe \(\displaystyle{ \frac bc +\frac cb}\)?
Q.
Q.
- Inkwizytor
- Użytkownik
- Posty: 4105
- Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 428 razy
Wykaż, że wyrażenie jest równe zero przy podanym założeniu.
proseper, czyli wg. tego co napisałeś
\(\displaystyle{ \frac{2}{5} \cdot 3 = \frac{2}{2+3} \cdot 3 =}\) "skracamy" \(\displaystyle{ = \frac{2}{2} = 1}\)
Qń, zwróć uwagę co gdzie zniknęło.
\(\displaystyle{ \frac{2}{5} \cdot 3 = \frac{2}{2+3} \cdot 3 =}\) "skracamy" \(\displaystyle{ = \frac{2}{2} = 1}\)
Qń, zwróć uwagę co gdzie zniknęło.
Wykaż, że wyrażenie jest równe zero przy podanym założeniu.
Ależ wpadka z tymi ułamkami.
Jeszcze jedna edycja.
Jeszcze jedna edycja.
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Wykaż, że wyrażenie jest równe zero przy podanym założeniu.
Rachunki poprawne, ale w ostatniej linijce niepotrzebnie wciągasz wszystko do jednego ułamka. To co pojawia się w tezie lepiej zostawić z boku, tzn:prosper pisze:\(\displaystyle{ \frac{a^2}{b+c} + \frac{ab}{a+c} + \frac{ac}{a+b}+\frac{ab}{b+c} + \frac{b^2}{a+c} + \frac{bc}{a+b}+\frac{ac}{b+c} + \frac{bc}{a+c} + \frac{c^2}{a+b}=a+b+c}\)
\(\displaystyle{ \frac{a^2+ac+bc}{a+b}+ \frac{b^2+ab+bc}{a+c}+ \frac{a^2+ab+ac}{b+c} =a+b+c}\)
\(\displaystyle{ \frac{a^2}{a+b}+ \frac{b^2}{a+c}+ \frac{a^2}{b+c}+\frac{ac+bc}{a+b}+ \frac{ab+bc}{a+c}+ \frac{ab+ac}{b+c} =a+b+c}\)
Teraz postaraj się uprościć ułamki (te bez kwadratów).
Q.
Wykaż, że wyrażenie jest równe zero przy podanym założeniu.
\(\displaystyle{ \frac{a^2}{a+b}+ \frac{b^2}{a+c}+ \frac{c^2}{b+c}+\frac{c(a+b)}{a+b}+ \frac{b(a+c)}{a+c}+ \frac{a(b+c)}{b+c} =a+b+c}\)
\(\displaystyle{ \frac{a^2}{a+b}+ \frac{b^2}{a+c}+ \frac{c^2}{b+c}+a+b+c=a+b+c}\)
\(\displaystyle{ \frac{a^2}{a+b}+ \frac{b^2}{a+c}+ \frac{c^2}{b+c}=0}\)
cnd?
\(\displaystyle{ \frac{a^2}{a+b}+ \frac{b^2}{a+c}+ \frac{c^2}{b+c}+a+b+c=a+b+c}\)
\(\displaystyle{ \frac{a^2}{a+b}+ \frac{b^2}{a+c}+ \frac{c^2}{b+c}=0}\)
cnd?
Ostatnio zmieniony 15 lip 2011, o 21:02 przez prosper, łącznie zmieniany 1 raz.
Wykaż, że wyrażenie jest równe zero przy podanym założeniu.
Dziękuję za pomoc i jeszcze raz przepraszam za te ułamki.