Granica obliczona ze wzoru Taylora

[Majeskas]

Chcę obliczyć granicę \(\displaystyle{ \lim_{x\to 8} \frac{8-x}{\sin \frac{ \pi }{8}x }}\) za pomocą rozwinięcia w szereg Taylora z resztą w postaci Peano:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 8} \frac{8-x}{\sin \frac{ \pi }{8}x }=\lim_{x\to 8} \frac{8-x}{ \frac{ \pi }{8} \left(x-8 \right) +o \left( \left(x-8 \right)^2 \right)}= \lim_{x\to 8} \frac{-1}{ \frac{ \pi }{8}+ \frac{o \left( \left(x-8 \right)^2 \right)}{x-8} }= \frac{-1}{ \frac{ \pi }{8}+0 }=- \frac{8}{ \pi }}\)

Problem polega na tym, że ta granica wynosi \(\displaystyle{ \frac{8}{ \pi }}\). Czy ktoś może wskazać błąd?

[octahedron]

\(\displaystyle{ \left( \sin \frac{ \pi }{8}x\right)'=\frac{ \pi }{8} \cos \frac{ \pi }{8}x\\
x=8 \Rightarrow \frac{ \pi }{8} \cos \left( \frac{ \pi }{8} \cdot 8\right) =\frac{ \pi }{8} \cos \pi=-\frac{ \pi }{8}}\)

[Majeskas]

Nie bardzo rozumiem, co ma z tego wynikać w kontekście mojego pytania.

[Qń]

To przyjrzyj się dobrze - rozwinięcie w szereg Taylora wokół ósemki to:
\(\displaystyle{ f(x)=f(8)+f'(8)\cdot (x-8) + o((x-8^2))}\)
octahedron zwrócił uwagę, że źle policzyłeś \(\displaystyle{ f'(8)}\)

Q.

[Majeskas]

Rozumiem. Zwracam honor. Rzecz w tym, że ja nie robiłem tego rozwinięcia w taki sposób (gdybym robił, pewnie bym się nie pomylił). Wklepałem funkcję \(\displaystyle{ y=\sin \frac{ \pi }{8}x}\) do Wolphrama, który rozwinął ją wokół 0 następująco:

\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{8}x+o\left( x^2\right)}\)



Następnie przesunąłem to rozwinięcie do punktu \(\displaystyle{ x_0=8}\) i wyszło:

\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{8}\left(x-8 \right) +o\left( \left( x-8\right) ^2\right)}\)

Gdzie w takim razie jest tutaj błąd?

[octahedron]

Jeśli rozwinięcie jest względem \(\displaystyle{ x=8}\), to pochodne też trzeba liczyć w tym punkcie, a tu została pochodna policzona w \(\displaystyle{ x=0}\)

[Majeskas]

No jasne! Trochę olałem ten temat, jak był na ćwiczeniach i teraz wychodzą takie głupoty. Dziękuję bardzo.

[Qń]

Następnie przesunąłem to rozwinięcie do punktu \(\displaystyle{ x_0=8}\) i wyszło:
\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{8}\left(x-8 \right) +o\left( \left( x-8\right) ^2\right)}\)
Gdzie w takim razie jest tutaj błąd?

W zasadzie nie ma, ale przesunąć trzeba w takim razie także argument funkcji wyjściowej:
\(\displaystyle{ \sin\left( \frac{\pi}{8}(x-8)\right) =\frac{ \pi }{8}\left(x-8 \right) +o\left( \left( x-8\right) ^2\right)}\)
Lewa strona to jak nietrudno się przekonać \(\displaystyle{ -\sin\frac{\pi}{8}x}\), więc jak pomnożymy stronami przez \(\displaystyle{ -1}\), to też wyjdzie.

Q.