[Planimetria] 3 okręgi styczne zewnętrznie

[Swistak]

Dane są 3 okręgi \(\displaystyle{ o_1, o_2, o_3}\) takie, że \(\displaystyle{ o_1}\) jest styczny zewnętrznie do \(\displaystyle{ o_2}\) w punkcie P, a \(\displaystyle{ o_2}\) jest styczny zewnętrznie do \(\displaystyle{ o_3}\) w punkcie Q. Ponadto okręgi \(\displaystyle{ o_1}\) i \(\displaystyle{ o_3}\) nie są przystające i punkt przecięcia ich wspólnych stycznych zewnętrznych oznaczmy przez R. Udowodnij, że P, Q, R są współliniowe. Zaznaczam, że nie interesują mnie dowody używające tw. o złożeniu jednokładności ; p.

[Qń]

Rozwiązanie:    

Oznaczmy promienie odpowiednio przez \(\displaystyle{ r_1,r_2,r_3}\). Z twierdzenia Talesa (albo jak kto woli podobieństwa trójkątów) dostajemy \(\displaystyle{ \frac {O_3R}{RO_1}=\frac{r_3}{r_1}}\). W takim razie:
\(\displaystyle{ \frac{O_1P}{PO_2}\cdot \frac{O_2Q}{QO_3}\cdot \frac{O_3R}{RO_1}=\frac{r_1}{r_2}\cdot \frac{r_2}{r_3}\cdot \frac{r_3}{r_1}=1}\)
i z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Menelaosa dostajemy tezę.

Q.

[Swistak]

Rozwiązanie oczywiście jest dobre, choć mam cichą nadzieję, że ktoś wpadnie na rozwiązanie, które mam na myśli (dlatego napisałem, że nie chcę z tw. o złożeniu jednokładności, ale z Menelaosa nie znałem ; p).

[timon92]

Ukryta treść:    

szkic: rozważmy inwersję względem okręgu o środku R i takim promieniu, że \(\displaystyle{ o_1}\) jest obrazem \(\displaystyle{ o_3}\). Wówczas \(\displaystyle{ o_2}\) przechodzi na siebie i łatwo widzieć że P jest obrazem Q. Stąd teza.

[Swistak]

Świetnie . Ale pewnie pamiętałeś, jak gadałem o tym na Zwardoniu xD. Ale jak nie, to gratki ; p. Przy czym jednak to rozwiązanie, mimo tego, że moim zdaniem najładniejsze, to ma jedną wadę. Jeżeli uogólnimy to zadanie na takie, w którym te okręgi nie są styczne, a punkty P i Q są środkami jednokładności o skali ujemnej, to tw. o złożeniu jednokładności pracuje bez najmniejszej zmiany, do Menelaosa trzeba dorzucić 2 bardzo oczywiste stosunki, a inwersję nie wiem, czy w ogóle da się uratować :<.

[timon92]

Nie pamiętałem ;p