Przebieg zmienności funkcji (sin i cos)

[WSzaman]

Witam,
mam takie zadanie i kilka pytań do niego:

Zbadaj przebieg zmienności funkcji:

\(\displaystyle{ f(x) = \sin ^{4} \left( x\right) + \cos ^{4} \left( x\right)}\)

1. Dziedzina rzeczywiste
2. Granice: coś pomiędzy (0,2), tego się nie da obliczyć jeżeli dobrze myślę, rozbieżna tak?
3. Asymptoty: brak
4. Punkty przecięcia z osiami układu: miejsc zerowych brak, przecięcie wykresu z OY w y=1
5. Parzysta? Okres \(\displaystyle{ \pi}\) ? \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) ?
6. \(\displaystyle{ f'\left( x\right) = \sin\left( x\right) \cdot \cos\left( x\right)}\) z czego wywnioskowałem minimum w \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) co raczej jest bzdurą i max w 0 co prawdopodobnie się zgadza.
7. \(\displaystyle{ f''\left( x\right) = \cos ^{2} \left( x\right) - \sin ^{2} \left( x\right)}\) - przegięcie w \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4}}\)?? w tej f. chyba nie ma przegięć a w tym punkcie powinno być moim zdaniem minimum.


więc..
Coś robię (bardzo) źle tylko jestem początkujący w tym temacie i nie bardzo wiem co ;p

[piasek101]

\(\displaystyle{ f(x)=( \sin ^ 2x+ \cos ^ 2x)^2-2 \sin ^ 2x \cos ^ 2x=...}\)

Będzie ,,łatwiejsza".

[Majeskas]

Przede wszystkim:

\(\displaystyle{ f\left( x\right)= \sin ^4x+\cos ^4x=\sin ^4x+\cos ^4x+2\sin^2x \cos^2x-2\sin^2x \cos^2x=\\=\left( \sin^2x+\cos^2x\right)^2- 2\sin^2x \cos^2x=1- \frac{1}{2} \cdot 4\sin^2x \cos^2x=1- \frac{1}{2}\sin^22x}\)

Funkcję w takiej postaci o wiele łatwiej rozważać i nie trzeba do tego tradycyjnych metod badania przebiegu funkcji. Wystarczy umiejętnie poprzekształcać wykres.

1. Dobrze

2. Nie. To jest funkcja okresowa, nie ma więc granicy w \(\displaystyle{ \pm \infty}\).

3. Tak

4. Tak

5. Parzysta.

6. \(\displaystyle{ f^{\prime}\left( x\right)=-2\sin2x \cos2x=-\sin4x}\)

7. \(\displaystyle{ f^{\prime \prime}\left( x\right)=-4\cos4x}\)


Choć moim zdaniem punkty 6 i 7 są zupełnie zbędne, kiedy mamy wyprowadzony przeze mnie wzór funkcji.

[pyzol]

5. Nie jest parzysta i nie jest nieparzysta, co widać od razu po wzorze, który zapisałem.

Widać na starcie, że jest parzysta...

[Majeskas]

Święta racja. Jakoś krzywo spojrzałem. Post poprawiony.

[WSzaman]

Dzięki za wskazówki