prawda/fałsz

[BlueSky]

Czy jest prawdą, że:
a) \(\displaystyle{ \forall_{a \in \mathbb {R}}\exists_{b \in \mathbb {R}}\forall_{c \in \mathbb {R}}\exists_{d \in \mathbb {R}}\forall_{z \in \mathbb {R}}\quad z \neq a+b+c+d}\)
b) \(\displaystyle{ \exists_{a \in \mathbb {R}}\forall_{b \in \mathbb {R}}\exists_{c \in \mathbb {R}}\forall_{d \in \mathbb {R}}\exists_{z \in \mathbb {R}}\quad z = a+b+c+d}\)
c) \(\displaystyle{ \forall_{a \in \mathbb {R}}\exists_{b \in \mathbb {R}}\forall_{c \in \mathbb {R}}\exists_{d \in \mathbb {R}}\forall_{z \in \mathbb {R}}\quad z > a+b+c+d}\)
d) \(\displaystyle{ \exists_{a \in \mathbb {R}}\forall_{b \in \mathbb {R}}\exists_{c \in \mathbb {R}}\forall_{d \in \mathbb {R}}\exists_{z \in \mathbb {R}}\quad z < a+b+c+d}\)

Zastanawiam się, czy można to zadanie rozwiązać tak:
b) Mają istnieć takie a i c, więc weźmy, że a=c=0. Wówczas mamy: \(\displaystyle{ \forall_{b \in \mathbb {R}}\forall_{d \in \mathbb {R}}\exists_{z \in \mathbb {R}}\quad z = b+d}\) i jest to prawdą, bo dla każdych dwóch liczb znajdziemy taką, która jest ich sumą.
a) jest to negacja tego co w b), więc skoro b) jest prawdą, to a) jest fałszem.
d) podobnie, jak w b), mają istnieć takie a i c, więc weźmy a=c=0. Wówczas mamy: \(\displaystyle{ \forall_{b \in \mathbb {R}}\forall_{d \in \mathbb {R}}\exists_{z \in \mathbb {R}}\quad z < b+d}\) i jest to prawda, bo dla każdych dwóch liczb znajdziemy taką, która jest mniejsza od ich sumy.
c) to co tutaj jest, wchodzi w skład negacji tego co w d), więc jest fałszem.

[Qń]

Jest ok.

Q.

[miki999]

W sumie to w tym zadaniu, wystarczyło spojrzeć na ostatni kwantyfikator

[BlueSky]

Dzięki za odpowiedzi. Ciekawe spostrzeżenie z tym ostatnim kwantyfikatorem.

[Inkwizytor]

To że a) nie jest prawdą widać właśnie po ostatnim kwantyfikatorze. W końcu zawsze jak dodajemy jakieś 4 liczby rzeczywiste to wychodzi nam jakaś konkretna liczba, co stoi w sprzeczności z kwantyfikatorem \(\displaystyle{ \forall_{z \in \mathbb {R}}}\) bo musiało by to oznaczać że suma 4 liczb rzeczywistych po prawej daje wynik nierzeczywisty - "sprzecznośc ze względu na zamkniętość zbioru rzeczywistego ze względu na dodawanie"