Trygonometryczny Szereg Fouriera - sprawdzenie

[Antos]

Witam

Mam szereg fouriera zapisany wzorem:
\(\displaystyle{ f(x)=\left\
{\ 1,\ dla\ x \varepsilon\\ (-\Pi, \frac{-\Pi}{2});\,
\ 2, \ dla\ x \varepsilon\\ (-\ \frac{\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2});\
\ 1, \ dla \ x \varepsilon\\ (\frac{\Pi}{2}, \Pi);}}\)


i z obliczeń mi wyszło:
\(\displaystyle{ a_{0}=- \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ a_{n}=2}\)
\(\displaystyle{ F(x)= \sum_{n=1}^{} 2cos(nx)}\)

Czy powyższy wynik jest poprawny? Niestety nie mam odpowiedzi do tych zadań, a muszę mieć dobrze policzone żeby wiedzieć czy w mój tok rozumowania jest poprawny.

[miki999]

Co to jest \(\displaystyle{ a_n}\)? Co to jest \(\displaystyle{ F(x)}\)? Jest to klasyczny sygnał prostokątny unipolarny przesunięty o 1 jednostkę w górę. Pewnie wynik idzie wyszukać.

Szereg \(\displaystyle{ F(x)}\) jeżeli jest nieskończony, to jest rozbieżny dla \(\displaystyle{ x=0}\).


Pozdrawiam.

[Antos]

Treść zadania brzmi:
Rozwinąć w trygonometryczny szereg Fouriera następujące funkcje okresowe. I to jest jeden z przykładów. Kompletnie nie wiem o co ci w tym momencie chodzi. Wykładowca właśnie w ten sposób nakazał nam to robić.
Wiem, że funkcja jest parzysta i jest o okresie 2 Pi, więc powinienem policzyć \(\displaystyle{ a_{0} , a_{n}}\) i podstawić do wzoru:
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{ a_{0} }{2}+ \sum_{n=1}^{nieskończoność} a_{n} cos(nx)}\)

[miki999]

Ok, niech Ci będzie. W takim razie według Twojego rozwiązania:
\(\displaystyle{ f(0)=- \frac{1}{4} +\sum_{n=1}^{\infty}2\cos (n \cdot 0)=- \frac{1}{4} +\sum_{n=1}^{\infty}2 \cdot 1=\infty}\)
Zatem coś jest nie tak.

\(\displaystyle{ \infty}\) to

Kod: Zaznacz cały

infty

Jak chcesz, to możesz pokazać obliczenia to znajdziemy błąd.

[Antos]

\(\displaystyle{ a_{0}= \frac{2}{\Pi} \int_{0}^{\Pi} f(x)dx = \frac{2}{\Pi}( \int_{0}^{ \frac{\Pi}{2} } 2dx + \int_{ \frac{\Pi}{2} }^{\Pi} dx ) = \frac{2}{\Pi}( \frac{2 \Pi }{2} - 0 + \frac{\Pi}{2} - \Pi)=- \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{2}{\Pi} \int_{0}^{\Pi} f(x) \cos (nx)dx= \frac{2}{\Pi}( \int_{0}^{ \frac{\Pi}{2}} 2 \cos (nx)dx + \int_{ \frac{\Pi}{2} }^{\Pi} \cos (nx)dx= \frac{2}{\Pi} ( \frac{2 \sin (nx)}{n} + \frac{ \sin(nx)}{n})= \frac{2}{\Pi} ( \frac{2sin(n \frac{\Pi}{2} ) }{n} - \frac{2 \sin (n*0) }{n} + \frac{ \sin(\Pi * n) }{n} - \frac{ \sin ( \frac{\Pi}{2}*n) }{n})}\)

Co po skróceniu i wymnożeniu daje:
\(\displaystyle{ \frac{2}{\Pi}( \sin \Pi + \sin \Pi - \frac{ \sin \Pi }{2} ) = \sin \frac{2 \Pi }{ \Pi } + sin \frac{2 \Pi }{ \Pi } - \frac{ \sin 2 \Pi }{2 \Pi } = \sin \Pi + \sin \Pi - sin1)=2+2-1=3}\)

Jedyny błąd jaki ja znalazłem, to to, że sin Pi to jest jednak 2, a nie 1

czyli ostatecznie:

\(\displaystyle{ f(x)= \sum_{n=1}^{ \infty } 3 \cos(nx)}\)

Może powiem o co mi najbardziej chodzi. Może to głupie podstawy, ale jak się ma braki z dawien dawna to trzeba teraz jakoś nadgonić. 0
Chodzi mi głównie o zamianę na wartości i skracanie wyrażeń typu \(\displaystyle{ \frac{ \sin 2 \Pi}{2 \Pi }}\)

[Kamil_B]

Wbrew obiegowym opiniom nie jest prawdą, że \(\displaystyle{ \frac{\sin(nx)}{n}=six=6}\)
Ponadto \(\displaystyle{ \sin(\pi)=0}\) (a ogólnie nawet jest \(\displaystyle{ \sin(k\pi)=0}\) dla dowolnej liczby całkowitej k).
U Ciebie powinno wyjść zatem

\(\displaystyle{ a_n=\frac{2\sin(\frac{n\pi}{2})}{n\pi}}\).

Oprócz tego masz błąd w całce wyznaczającej \(\displaystyle{ a_0}\) :

\(\displaystyle{ \frac{2}{\pi}( \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } 2dx + \int_{ \frac{\pi}{2} }^{\pi} dx )=\frac{2}{\pi}\left(\frac{2 \pi }{2} - 0 +\pi - \frac{\pi}{2} \right)=3}\)

[Antos]

Dzięki za poprawienie, faktycznie powinna najpierw być górna granica, a potem dolna - głupi błąd w zasadzie

Co do drugiej kwestii
\(\displaystyle{ \frac{\sin(nx)}{n}=six=6}\) , nie powinno się to skrócić do postaci sinx? Czy ja mam aż takie braki z gimnazjum i szkoły średniej?
Chodzi o to, że mnie ostatnio wykładowca zrugał za to, że jako przyszły inżynier nie mogę sobie pisać sin, cos, tylko muszę podawać wartości, a nie wyjaśnił o jakie wartości mu chodzi i teraz się staram kombinować o co chodzi. Bo ostatnio właśnie zostawiłem to w takiej postaci: \(\displaystyle{ a_n=\frac{2\sin(\frac{n\pi}{2})}{n\pi}}\) i efekt jest taki, że muszę przyjść jeszcze raz.

Dlaczego nie jest tak, że \(\displaystyle{ sin \pi = 2}\) skoro \(\displaystyle{ \pi = 180}\) stopni, więc powinno być 2, gdyby to był cosinus to bym się zgodził, ale tak - bez urazy coś mi nie pasuje

edycja:

Ahh, z tego wszystkiego już nie myślę logicznie. Faktycznie. Wykres funkcji sinus w Pi przyjmuje wartość 0, a cosinus 1. Przepraszam, za zamieszanie. Proszę jednak o odpowiedź na powyższe pytania.

[Kamil_B]

No coż - tamta moja uwaga powinna być postaci : nie jest prawdą, że \(\displaystyle{ \frac{\sin(x)}{n}=six=6}\), a tak spaliłem
Wracając jednak do tematu- nie można sobie skracać argumentów pod sinusem z wartościami licznika np. nie jest prawdą, że \(\displaystyle{ \frac{\sin(2\pi)}{2\pi}=\sin1>0}\), bo przecież jest \(\displaystyle{ \sin(2\pi)=0}\).
Odnośnie zostawienia wyniku w postaci \(\displaystyle{ a_n=\frac{2\sin(\frac{n\pi}{2})}{n\pi}}\) : jeśli chcesz to zapisać, jak to nazwałeś, liczbowo, to powinieneś rozważyć 4 przypadki w zależności od podzielności n przez 4 tzn. dla \(\displaystyle{ n=4k}\), \(\displaystyle{ n=4k+1}\), \(\displaystyle{ n=4k+2}\) oraz \(\displaystyle{ n=4k+3}\) (k jest tutaj wszędzie całkowite).
Dla przykłądu: jeśli \(\displaystyle{ n=4k+1}\), to \(\displaystyle{ sin(\frac{n\pi}{2})=sin(2k\pi+\frac{\pi}{2})=sin(\frac{\pi}{2})=1.}\)
Analogicznie pozostałe przypadki.

[Antos]

zapomniałem dopisać, że jest to dla n=1,2,3...

Inny przykład, może tu trafiłem w to o co mi chodzi:


\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 1, x\in (-\pi, \frac{ \pi }{2} \\ 0, x\in ( - \frac{ \Pi }{2} , \frac{ \pi }{2} \\ -1, x\in ( \frac{ \pi }{2} , \pi) \end{cases}}\)

Jest to więc funkcja nieparzysta o okresie 2Pi

\(\displaystyle{ b_{n} = \frac{2}{ \pi } \int_{0}^{ \pi } f(x) \sin(nx)dx= \frac{2}{ \pi } ( \int_{0}^{ \frac{ \pi }{2} } 0sin(nx)dx+ \int_{ \frac{ \pi }{2} }^{ \pi }-sin(nx)dx= \frac{2}{ \pi }( \frac{cos (n \pi)}{n} - \frac{ \cos (n \frac{ \pi }{2}) }{n})}\)

No i w tym monecie mogę chyba zauważyć, że \(\displaystyle{ cos(n \pi)}\)to niezależnie od n i tak będzie -1, więc można to chyba skrócić do postaci \(\displaystyle{ - \frac{1}{n}}\), a z kolei \(\displaystyle{ \cos(n \frac{ \pi }{2})}\) i tu nie wiem, ale zaryzykowałem \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\)
Po podstawieniu do wzoru daloby mi to: \(\displaystyle{ \frac{2+2n}{ \pi n}}\)
czyli \(\displaystyle{ f(x)= \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2+2n}{ \pi n } \sin (nx)}\)

Jest to w tym momencie poprawne rozumowanie, czy jeszcze nie?

[Kamil_B]

Nie jest poprawne i najlepiej żebyś jeszcze raz , na spokojnie, przeczytał co napisałem powyżej.
\(\displaystyle{ cos(n\pi)=(-1)^n}\), natomiast do wyrażenia \(\displaystyle{ \cos(\frac{n\pi}{2})}\) zastosuj metode opisaną w poprzednim moim poście.

[miki999]

Jeszcze jedna sprawa: całkowanie odbywa się w granicach o długości okresu, czyli niekoniecznie od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ \pi}\).

[Antos]

Jeżeli funkcja okresowa f : R->R o okresie 2Pi jest nieparzysta to jej trygonometryczny szereg fouriera przybiera postać:
\(\displaystyle{ f(x)= \sum_{n}^{ \infty } b_{n} \sin (nx)}\)
\(\displaystyle{ b_{n} = \frac{2}{ \pi } \int_{0}^{ \pi } f(x) sin(nx)dx, n=1,2,3....}\)

Opierałem się na tym zapisie. Czyżby to było też źle, bo szczerze mówiąc do tego zastrzeżeń nie było akurat. Wiem, że jak funkcja jest parzysta, to trzeba policzyć a0 i an, a jak jest nieparzysta to wtedy granica całkowania jest od -pi do pi i liczę an, bn, a0. Oczywiście to wszystko jeżeli funkcja jest o okresie 2Pi, bo jak nie to mam inny wzór, w którym granice całkowania są granicami okresu funkcji, ale nie o tym w tym momencie.

[miki999]

Oczywiście dla funkcji:

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 1, x\in (-\pi, \frac{ \pi }{2} \\ 0, x\in ( - \frac{ \Pi }{2} , \frac{ \pi }{2} \\ -1, x\in ( \frac{ \pi }{2} , \pi) \end{cases}}\)

masz okres \(\displaystyle{ 2\pi}\), ale dla:

\(\displaystyle{ f(x)=\left\ {\ 1,\ dla\ x \varepsilon\\ (-\Pi, \frac{-\Pi}{2});\, \ 2, \ dla\ x \varepsilon\\ (-\ \frac{\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2});\ \ 1, \ dla \ x \varepsilon\\ (\frac{\Pi}{2}, \Pi);}}\)

jest inny. Chyba że w pierwszym poście Ci minusa zjadło

[Antos]

Faktycznie powinien tam być - i funkcja wtedy będzie o okresie 2Pi, jednak początki w latexie są trudne.

[miki999]

Oczywiście. W razie problemów pisz.