Ze zb. Kiełbasa vol.2

[szprot_w_oleju]

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba \(\displaystyle{ n ^{5} -n}\) jest podzielna przez 30.

\(\displaystyle{ n ^{5} -n \Leftrightarrow n(n ^{4} -1) \Leftrightarrow n(n ^{2}+1)(n ^{2}-1) \Leftrightarrow n(n+1)(n-1)(n ^{2}+1)}\)

\(\displaystyle{ n(n+1)(n-1)}\) jest podzielne przez 2 i 3, zatem jest podzielne przez 6 dla każdego\(\displaystyle{ n \in \NN}\).

Liczba n jest podzielna przez 5, lub daje resztę przy dzieleniu równą 1,2,-1 lub -2.
Niech \(\displaystyle{ n=5k \pm 1, n=5k \pm 2, k \in \NN \cup \left\{ 0\right\}}\)

dla
\(\displaystyle{ n=5k+1

(5k+1)(5k+2)(5k)(5k+1)^{2}+1)= 5[k(5k+1)(5k+2)((5k+1) ^{2}+1))]}\)
jednym z czynników jest 5, zatem iloczyn jest podzielny przez 5
\(\displaystyle{ \Rightarrow}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ 5 \cdot 6=30}\)
Analogicznie dla \(\displaystyle{ n=5k-1}\)


dla
\(\displaystyle{ n=5k+2

(5k+2)(5k+1)(5k+3)((5k+2)^{2} +1)=(5k+2)(5k+1)(5k+3)(25k ^{2} +20k +5)=5(5k+2)(5k+1)(5k+3)( 5k^{2}+4k+1)}\)

jednym z czynników jest 5, zatem iloczyn jest podzielny przez 5
\(\displaystyle{ \Rightarrow}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ 5 \cdot 6=30}\)
Analogicznie dla \(\displaystyle{ n=5k-2}\)
Zatem dla \(\displaystyle{ n \in \NN}\) liczba \(\displaystyle{ n ^{5}-n}\) jest podzielna przez 30, c.n.d.

[mateuszek89]

jest prawie ok, ale źle wyciągnąłeś piątkę dla \(\displaystyle{ n=5k+2}\) i źle podniosłeś do kwadratu. powinno być \(\displaystyle{ ...=(5k+1)(5k+2)(5k+3)(25k^2+20k+5)=5(5k+1)(5k+2)(5k+3)(5k^2+4k+1)}\). Ponadto jak zapisujesz te liczby to zapisz \(\displaystyle{ k \in N \cup \{ 0 \}}\), żeby nie było problemu z jedynką i dwójką. Ponadto taka już też kosmetyczna uwaga zawsze przyda się jakiś komentarz, że liczba jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\), bo jest postaci \(\displaystyle{ 5a}\), gdzie \(\displaystyle{ a \in N \cup {0}}\). pozdrawiam!

[szprot_w_oleju]

Dzięki za uwagi,
jeszcze nie rozumiem: jaka jest zasada wyłączanie przed nawias gdy jest kilka nawiasów, tak jak tu z całego wyrażenia podzieliłeś tylko jeden nawias przez 5, tzn. nigdy nie dzielimy wszystkich nawiasów tylko zawsze jeden?

[mateuszek89]

popatrz np. \(\displaystyle{ \frac{(4n+8)(2n+1)}{4}=\frac{4(n+2)(2n+1)}{4}=(n+2)(2n+1)}\). czwórka się skraca i tyle. A dzielisz tylko jeden nawias. Inaczej jest w przypadku dodawania i odejmowania i gdy trzeba podzielić każdy czynnik.

[akurczak]

Jeśli można, podzielę się swoim rozwiązaniem - ja się przy tym bawiłem indukcją. Najpierw sprawdzamy dla n=1, następnie założenie indukcyjne:
\(\displaystyle{ (n-1)n(n+1)(n^{2}+1)=30k}\) dla \(\displaystyle{ k \in Z}\)
i teza: \(\displaystyle{ n(n+1)(n+2)(n^{2}+2n+2)=30l}\) dla \(\displaystyle{ l \in Z}\)

No i dowodzimy:
\(\displaystyle{ n(n+1)(n+2)(n^{2}+2n+2)=n(n+1)(n-1+3)(n^{2}+2n+2)=\\=n(n+1)(n-1)(n^{2}+2n+2)+3n(n+1)(n^{2}+2n+2)=\\=n(n+1)(n-1)(n^{2}+1+2n+1)+3n(n+1)(n^{2}+2n+2)=\\=n(n+1)(n-1)(n^{2}+1)+n(n+1)(n-1)(2n+1)+3n(n+1)(n^{2}+2n+2)=\\=30k+n(n+1)(n-1)(2n+1)+3n(n+1)(n^{2}+2n+2)=\\=30k+n(n+1)((n-1)(2n+1)+3(n^{2}+2n+n))=\\=30k+n(n+1)(2n^{2}+n-2n-1+3n^{2}+6n+6)=\\=30k+n(n+1)(5n^{2}+5n+5)=30k+5n(n+1)(n^{2}+n+1)=\\=30k+5n(n+1)(n^{2}+n-2+3)=\\=30k+5n(n+1)((n-1)(n+2)+3)=30k+5(n-1)n(n+1)(n+2)+15n(n+1)}\)

Ostateczna postać to suma trzech składników, pierwszy podzielny przez 30, drugi to iloczyn liczby 5 i 4 kolejnych liczb, zatem znajdują się wśród nich liczba parzysta i liczba podzielna przez 3, zatem iloczyn ten podzielny jest przez 30, zaś trzecim składnikiem jest iloraz liczby 15 i dwóch kolejnych liczb, z których dokładnie jedna jest parzysta, zatem ich iloczyn także podzielny jest przez 30. Suma liczb podzielnych przez 30 jest podzielna przez 30, c.n.d.

[RSM]

\(\displaystyle{ n^5-n=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5(n-1)n(n+1)}\)...