granice ciagow dodatnich
granice ciagow dodatnich
O ciągach dodatnich liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ (x_n), (y_n)}\) wiadomo, że \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty}x_n=+\infty}\), zaś \(\displaystyle{ (y_n)}\) jest ograniczony. Czy wynika stąd, że
a) \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \frac{x_n}{y_n}=+\infty}\)
b) \(\displaystyle{ x_n>y_n}\) dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\)
c) \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty}y_n-x_n=-\infty}\)
d) \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty}x_ny_n=+\infty}\)
a) \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \frac{x_n}{y_n}=+\infty}\)
b) \(\displaystyle{ x_n>y_n}\) dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\)
c) \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty}y_n-x_n=-\infty}\)
d) \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty}x_ny_n=+\infty}\)
granice ciagow dodatnich
Wiem, że tylko d) jest nieprawdziwe, ale nie wiem zbytnio, jak poszczególne punkty uzasadniać.
-
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
granice ciagow dodatnich
no to zacznij od b)
\(\displaystyle{ y _{n}}\) jest ograniczony niech będzie ograniczony z góry przez jakąś liczbę \(\displaystyle{ M}\)
Skoro \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }x _{n} = \infty}\) to dla jakiegoś dostatecznie dużego n będzie zawsze \(\displaystyle{ x _{n} >M}\). Zatem \(\displaystyle{ x _{n}>y _{n}}\) dla dostatecznie dużych n
\(\displaystyle{ y _{n}}\) jest ograniczony niech będzie ograniczony z góry przez jakąś liczbę \(\displaystyle{ M}\)
Skoro \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }x _{n} = \infty}\) to dla jakiegoś dostatecznie dużego n będzie zawsze \(\displaystyle{ x _{n} >M}\). Zatem \(\displaystyle{ x _{n}>y _{n}}\) dla dostatecznie dużych n
-
- Użytkownik
- Posty: 1456
- Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 49 razy
- Pomógł: 198 razy
granice ciagow dodatnich
na d) wystarczy znaleźć kontrprzykład
c) jest prawdą. Można skorzystać z twierdzenia o dwóch ciągach, tzn. jeśli od pewnego momentu wyrazy ciągu \(\displaystyle{ a_n}\) są mniejsze od wyrazów ciągu \(\displaystyle{ b_n}\) i ciąg \(\displaystyle{ b_n}\) jest rozbieżny do \(\displaystyle{ - \infty}\), to chyba jasne, co wtedy z granicą \(\displaystyle{ a_n}\).
a) podobnie, tylko w drugą stronę.
c) jest prawdą. Można skorzystać z twierdzenia o dwóch ciągach, tzn. jeśli od pewnego momentu wyrazy ciągu \(\displaystyle{ a_n}\) są mniejsze od wyrazów ciągu \(\displaystyle{ b_n}\) i ciąg \(\displaystyle{ b_n}\) jest rozbieżny do \(\displaystyle{ - \infty}\), to chyba jasne, co wtedy z granicą \(\displaystyle{ a_n}\).
a) podobnie, tylko w drugą stronę.
Ostatnio zmieniony 11 lip 2011, o 18:12 przez Majeskas, łącznie zmieniany 1 raz.