Relacja przechodnia i zbiór ilorazowy

[Tomek_Z]

1. Dana jest relacja

\(\displaystyle{ xRy \Leftrightarrow f(x) \neq y}\).

Zakładamy, że relacja jest przechodnia. Pokazać, że \(\displaystyle{ f(x)}\) jest funkcją stałą.

Próbowałem robić wprost jak i nie wprost, ale do niczego konkretnego nie udało mi się dojść. Np. nie wprost, założyłem że istnieje taki punkt \(\displaystyle{ x_0}\) , że \(\displaystyle{ f(x_0) \neq c}\) dla pewniej stałej \(\displaystyle{ c}\). Czyli mam \(\displaystyle{ x_0 R c}\). I dalej już miałem problem, żeby dojść do sprzeczności.

2. Dana jest relacja równoważności:

\(\displaystyle{ x \approx y \Leftrightarrow x+y = f(x) + f(y)}\)

znaleźć zbiór ilorazowy.

[xiikzodz]

Przypuśćmy, że relacja \(\displaystyle{ R}\) jest niepusta, to znaczy istnieje \(\displaystyle{ (a,b)\in R}\).

Wówczas:

\(\displaystyle{ f(a)\neq b}\) i rzecz jasna \(\displaystyle{ a\neq b}\).

Są dwie możliwości:

1. \(\displaystyle{ f(b)=a}\), wtedy \(\displaystyle{ bRa}\) oraz \(\displaystyle{ aRb}\) skąd (przechodniość) \(\displaystyle{ bRb}\) co prowadzi do sprzeczności, bo \(\displaystyle{ f(b)=f(b)}\).

2. \(\displaystyle{ f(b)\neq a}\), wtedy \(\displaystyle{ aRb}\) oraz \(\displaystyle{ bRa}\), skąd \(\displaystyle{ aRa}\) i znowu sprzeczność.

Relacja jest więc pusta, czyli równoważnie funkcja przyjmuje tę samą wartość dla wszystkich argumentów, czyli jest stała.

[Jan Kraszewski]

2. Dana jest relacja równoważności:

\(\displaystyle{ x \approx y \Leftrightarrow x+y = f(x) + f(y)}\)

znaleźć zbiór ilorazowy.

Skoro wiemy, że jest to relacja równoważności, to jest zwrotna, skąd szybko wnioskujemy, że \(\displaystyle{ f(x)=x}\). Wobec tego \(\displaystyle{ x \approx y \Leftrightarrow x+y=x+y}\), czyli \(\displaystyle{ \approx}\) jest relacją pełną, która ma jedną klasę abstrakcji.

JK

[Tomek_Z]

I tą klasą abstrakcji jest zbiór na którym relacja "żyje" (jest określona) ? Jeśli zatem relacja jest określona na \(\displaystyle{ X = \mathbb{R}}\) to tę jedyną klasę abstrakcji można zapisać jako\(\displaystyle{ [1]_{ \approx } = \mathbb{R}}\) czyli zbiór ilorazowy \(\displaystyle{ X_{ \setminus \approx } = \left\{ \mathbb{R} \right\}}\) ?

[Jan Kraszewski]

Tak.

JK

[Tomek_Z]

I jeszcze jedno pytanie (bo na egzaminie w tym zadaniu zupełnie zbłądziłem). Chodzi o to, że w treści zadania mieliśmy podaną konkretną funkcję, bodajże \(\displaystyle{ f(x) = 1 - |x|}\).

Zadanie z przytoczoną w tym temacie klasą abstrakcji było jednym z podpunktów i tak się zastanawiam czy \(\displaystyle{ f}\) było dowolne czy określone powyższym wzorem. Bo jeśli było dowolne to rozwiązanie mam powyżej, a jeśli określone powyższym wzorem, to mamy dwie klasy abstrakcji? W jednej są liczby spełniające równanie \(\displaystyle{ x + |x| = 1}\) czyli \(\displaystyle{ [ \frac{1}{2} ]_{ \approx } = \left\{ \frac{1}{2} \right\}}\) a w drugiej pozostałe liczby, czyli te które nie spełniają żądanej równości, zatem \(\displaystyle{ [1]_{ \approx } = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{1}{2} \right\}}\). I wtedy zbior ilorazowy \(\displaystyle{ X_{/ \approx } = \left\{ \left\{ \frac{1}{2} \right\}, \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{1}{2} \right\} \right\}}\)

[Jan Kraszewski]

Podejrzewałem, że o to chodzi...

Zadanie na egzaminie było INNE. Dokładniej - inna była relacja równoważności: \(\displaystyle{ x\approx y \Leftrightarrow x+f(x)=y+f(y)}\). A to zupełnie zmienia postać rzeczy. Dodatkowo należało zauważyć, że chodzi o tę konkretną funkcję \(\displaystyle{ f}\), co wynikało z treści, a co niektórzy zdający przeoczyli... (dla dowolnej funkcji nic konkretnego o klasach abstrakcji nie da się powiedzieć).

Sytuacja jest prosta: po podstawieniu wzoru funkcji dostajemy relację \(\displaystyle{ x\approx y \Leftrightarrow x-|x|=y-|y|}\). Teraz wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ x-|x|}\) jest zerem dla \(\displaystyle{ x\ge 0}\), a dla \(\displaystyle{ x<0}\) mamy \(\displaystyle{ x-|x|=2x}\). Wobec tego wszystkie liczby nieujemne są w jednej klasie abstrakcji oraz żadne dwie różne liczby ujemne nie są ze sobą w relacji. Wobec tego klasy abstrakcji to \(\displaystyle{ [0,+infty)}\) oraz \(\displaystyle{ \{x\}}\) dla \(\displaystyle{ x<0}\) (czyli \(\displaystyle{ mathbb{R}/_approx={[0,+infty)}cup{{x}:x<0}}\)).

JK

[Tomek_Z]

No to faktycznie, w momencie zauważenia, że chodzi o funkcję podaną w treści zadania, wszystko staje się dość proste...