implikacja - równanie całkowe

[Tomek_Fizyk-10]

Mam dwa pytania, ponieważ podczas czytania o ruchu harmonicznym, natrafiłem na dziwne operacje i nie wiem do końca, co się skąd wzięło - jeśli nie sprawi to żadnego kłopotu, bardzo proszę o pomoc... :
1) Pierwsze było takie równanie: \(\displaystyle{ x'u-u'x=C _{1}}\) , gdzie \(\displaystyle{ x'= \frac{ \mbox{d}x }{ \mbox{d}t }}\) oraz \(\displaystyle{ u'= \frac{ \mbox{d}u }{ \mbox{d}t }}\) i zadaniem było podzielenie tego równania przez \(\displaystyle{ u ^{2}}\) i w rezultacie otrzymano: \(\displaystyle{ ( \frac{x}{u} )'= \frac{C _{1} }{u ^{2} }}\) ---> Dlaczego autor tych obliczeń otrzymał taki wynik... tak jakby pominął przy dzieleniu wyrażenie: \(\displaystyle{ -u'x}\) lub jakby dawało ono \(\displaystyle{ 0}\)...?

2) Drugie to równanie całkowe: \(\displaystyle{ \frac{x}{u} = C _{1} \int_{t _{0} }^{t} \frac{ \mbox{d}t }{u ^{2} } + C _{2}}\) i zadaniem było pozbycie się \(\displaystyle{ u}\) z lewej strony równania. W rezultacie otrzymano: \(\displaystyle{ x(t)=C _{1} \int_{t _{0} }^{t} \frac{ \mbox{d}t }{u ^{2}(t) } + C _{2} \cdot u(t)}\) --> Ponownie mam takie wrażenie, że podczas mnożenia obu stron równania przez \(\displaystyle{ u}\) autor pominął wyrażenie z całką \(\displaystyle{ C _{1} \int_{t _{0} }^{t} \frac{ \mbox{d}t }{u ^{2} }}\)... czy to jest błąd w obliczeniach, czy też nie znana przeze mnie do tej pory operacja matematyczna?

[FilipSosna]

1)
\(\displaystyle{ \left( \frac{x}{u} \right)'= \frac{x'u-u'x}{u^{2}}}\)

[Tomek_Fizyk-10]

Czy tę równość trzeba zapamiętywać, czy jest do tego jakieś schematyczne rozwinięcie...?

[miodzio1988]

Jest to podstawowy wzór na pochodną ilorazu, więc raczej trzeba to zapamiętać

[FilipSosna]

Licz pochodne to sam ci się zapamięta
Najlepiej zanim zajmiesz się fizyką, przerób sobie podstawy rachunku różniczkowego i całkowego

[Tomek_Fizyk-10]

Zajmując się fizyką w trakcie przerabiam rachunek różniczkowy i całkowy (oraz wiele innych materiałów z matematyki wyższej), tylko na ograniczonym poziomie, ponieważ dalej jest mocno skomplikowany... Mimo to jeszcze nie spotkałem się z takim wzorem na pochodną, przerabiałem większość, lecz akurat tego nigdzie nie widziałem, żebym mógł się z nim zapoznać;) Dlatego dziękuje wam za pomoc!!! Bardzo mi się to przyda:)

Odnośnie drugiego równania, jak możecie to podsuńcie mi jakąś małą wskazówkę, czym się kierować, aby otrzymać wynik autora...?

[Tomek_Fizyk-10]

Chciałem zapytać, czy prawdą jest, że: Jeśli \(\displaystyle{ \frac{x}{u} =C _{1} \int_{t _{0} }^{t} \frac{ \mbox{d}t }{u ^{2} } +C _{2}}\) to \(\displaystyle{ x(t)=C _{1} \cdot \int_{t _{0} }^{t} \frac{ \mbox{d}t }{u ^{2} (t) } +C _{2} u(t)}\)
lub w postaci implikacji:
\(\displaystyle{ \frac{x}{u} =C _{1} \int_{t _{0} }^{t} \frac{ \mbox{d}t }{u ^{2} } +C _{2}\Rightarrow x(t)=C _{1} \cdot \int_{t _{0} }^{t} \frac{ \mbox{d}t }{u ^{2} (t) } +C _{2} u(t)}\)
?

[octahedron]

Mnożysz przez \(\displaystyle{ u(t)}\), czyli
\(\displaystyle{ \frac{x}{u} =C _{1} \int_{t _{0} }^{t} \frac{ \mbox{d}t }{u ^{2} } +C _{2}\Rightarrow x(t)=C _{1}u(t) \cdot \int_{t _{0} }^{t} \frac{ \mbox{d}t }{u ^{2} (t) } +C _{2} u(t)}\)

[Tomek_Fizyk-10]

No właśnie, to dlaczego w jednym z podręczników o rachunku różniczkowym i całkowym wynik był taki: \(\displaystyle{ x(t)=C _{1} \cdot \int_{t _{0} }^{t} \frac{ \mbox{d}t }{u ^{2} (t) } +C _{2} u(t)}\)
? Z góry dziękuję za pomoc:)

W tym podręczniku czytałem wtedy o ruchu harmonicznym i rozwiązaniach równania takiego ruchu...*

[octahedron]

A możesz napisać cała zadanie?

[Tomek_Fizyk-10]

Już wszystko się wyjaśniło, to w tym podręczniku popełniono błąd... Dziękuję za pomoc!